Estensioni di campi
le seguenti estensioni di campi sono isomorfe???
$RR(2-i)$ e $RR(\phi)$ dove $\phi$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità con $(n>=3)$...
$RR(2-i)$ e $RR(\phi)$ dove $\phi$ è una radice primitiva $n$-esima dell'unità con $(n>=3)$...
Risposte
Direi che un'estensione finita propria di $RR$ ha grado 2, e quindi è isomorfa a $CC$ come campo.
Infatti se L/R è estensione finita di R allora è semplice (teorema dell'elemento primitivo), da cui $L=R(theta)$ per qualche $theta in L-R$. Poiché i polinomi irriducibili di R hanno grado 1 oppure 2, il polinomio minimo di $theta$ ha grado 2, quindi soddisfa un'equazione del tipo $ax^2+bx+c=0$ ove $ax^2+bx+c$ è irriducibile in R[X] (ovvero ha delta negativo). Ora presa una radice $phi$ di tale polinomio in $CC$, l'omomorfismo di campi $RR(theta) to CC$ definito mandando $theta$ in $phi$ è un isomorfismo.
In altre parole, si può pensare a $theta$ come appartenente a $CC$, e in questo caso è chiaro che $RR(theta)=CC$, poiché $theta$ non appartiene a R.
Infatti se L/R è estensione finita di R allora è semplice (teorema dell'elemento primitivo), da cui $L=R(theta)$ per qualche $theta in L-R$. Poiché i polinomi irriducibili di R hanno grado 1 oppure 2, il polinomio minimo di $theta$ ha grado 2, quindi soddisfa un'equazione del tipo $ax^2+bx+c=0$ ove $ax^2+bx+c$ è irriducibile in R[X] (ovvero ha delta negativo). Ora presa una radice $phi$ di tale polinomio in $CC$, l'omomorfismo di campi $RR(theta) to CC$ definito mandando $theta$ in $phi$ è un isomorfismo.
In altre parole, si può pensare a $theta$ come appartenente a $CC$, e in questo caso è chiaro che $RR(theta)=CC$, poiché $theta$ non appartiene a R.
quindi quelle due estensioni sono isomorfe? giusto?
I due campi $RR(2-i)$ e $RR(phi)$ sono isomorfi. Non so cosa tu intenda con "estensioni isomorfe".
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