Estensioni di campi
Buongiorno a tutti. Avrei un esercizio da proporvi che non mi torna.
Sia \( E|F \) un'estensione di campi di grado finito e tale che per ogni coppia \( F_{1},F_{2} \) di campi intermedi tra F ed E si ha \( F_{1}\supseteq F_{2} \) oppure \( F_{1}\subseteq F_{2} \) . Provare che \( E|F \) è un'estensione semplice.
Vi ringrazio.
Sia \( E|F \) un'estensione di campi di grado finito e tale che per ogni coppia \( F_{1},F_{2} \) di campi intermedi tra F ed E si ha \( F_{1}\supseteq F_{2} \) oppure \( F_{1}\subseteq F_{2} \) . Provare che \( E|F \) è un'estensione semplice.
Vi ringrazio.
Risposte
La condizione ti dice che l'insieme dei campi che stanno fra $F$ ed $E$
e' linearmente ordinato. Poiche' il grado $[E]$ e' finito,
abbiamo quindi una successione di inclusioni strette del tipo
$F\subset F_1\subset F_2\subset\ldots\subset F_t\subset E$
con la proprieta' che non ci sono altri campi fra $F$ ed $E$.
Ora $E=F(a)$ per un qualsiasi $a\in E-F_t$.
e' linearmente ordinato. Poiche' il grado $[E]$ e' finito,
abbiamo quindi una successione di inclusioni strette del tipo
$F\subset F_1\subset F_2\subset\ldots\subset F_t\subset E$
con la proprieta' che non ci sono altri campi fra $F$ ed $E$.
Ora $E=F(a)$ per un qualsiasi $a\in E-F_t$.
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