Estensioni ciclotomiche

[ficus2002]

Sia $k$ un campo e $k'$ un'estensione finita e separabile di $k$.
Allora $k'$ è contenuto in un'estensione ciclotomica di $k$?
La risposta è si se $k$ è un campo finito, quindi la domanda riguarda sopratutto il caso in cui $k$ sia infinito.

La domanda mi è sorta leggendo il Corollario 7.51 di J.Milne dal quale sembrerebbe che ogni estensione finita e separabile di $k$ è contenuta in un'estensione ottenuta da $k$ con radici dell'unità.

[maurer]

La risposta è no. Il gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica è abeliano, mentre non tutti i gruppi di Galois sono abeliani (da [tex]k \subset F \subset L[/tex] - tutte estensioni di Galois - con [tex]L/k[/tex] ciclotomico, segue [tex]\text{Gal}(F,k) \unlhd \text{Gal}(L,k)[/tex] e quindi [tex]\text{Gal}(F,k)[/tex] sarebbe necessariamente abeliano). Esiste un bellissimo teorema, di Kronecker-Weber, che asserisce il viceversa: ogni estensione abeliana su [tex]\mathbb Q[/tex] è contenuta in un'estensione ciclotomica. Tuttavia, non è facile da dimostrare!

[ficus2002]

"maurer":La risposta è no. Il gruppo di Galois di un'estensione ciclotomica è abeliano, mentre non tutti i gruppi di Galois sono abeliani (da [tex]k \subset F \subset L[/tex] - tutte estensioni di Galois - con [tex]L/k[/tex] ciclotomico, segue [tex]\text{Gal}(F,k) \unlhd \text{Gal}(L,k)[/tex] e quindi [tex]\text{Gal}(F,k)[/tex] sarebbe necessariamente abeliano). Esiste un bellissimo teorema, di Kronecker-Weber, che asserisce il viceversa: ogni estensione abeliana su [tex]\mathbb Q[/tex] è contenuta in un'estensione ciclotomica. Tuttavia, non è facile da dimostrare!

Quindi pensi anche tu che nel corollario di Milne che ho citato manchi qualche ipotesi, per esempio $k$ campo finito?