Estensione di Galois
Ciao a tutti,
non riesco a capire la notazione del libro. Si parla di campi finiti.
Questo è il testo: "per ogni m intero, è possibile estendere il campo GF(p) in un campo di $p^m$ elementi che è un'estensione di GF(p)
Ora non mi è chiaro com'è fatto il campo $GF(p^m)$. Nel senso di quali sono gli elementi, caratteristica e relazione con GF(p). Credo che mil mio errore sia ritenere che il campo ha $p^m$ elementi. Se considero GF(p), esso ha p elementi, ma $GF(p^m)$ non ha $p^m$ elementi giusto?Allora come interpreto la notazione?
non riesco a capire la notazione del libro. Si parla di campi finiti.
Questo è il testo: "per ogni m intero, è possibile estendere il campo GF(p) in un campo di $p^m$ elementi che è un'estensione di GF(p)
Ora non mi è chiaro com'è fatto il campo $GF(p^m)$. Nel senso di quali sono gli elementi, caratteristica e relazione con GF(p). Credo che mil mio errore sia ritenere che il campo ha $p^m$ elementi. Se considero GF(p), esso ha p elementi, ma $GF(p^m)$ non ha $p^m$ elementi giusto?Allora come interpreto la notazione?
Risposte
Ciao 
Tento di fare un po' di ordine.
Per ogni primo [tex]p[/tex] ed ogni intero [tex]m>1[/tex] esiste esattamente un campo con [tex]p^m[/tex] elementi a meno di isomorfismi. Di solito tale campo si indica con [tex]\mathbb{F}_{p^m}[/tex] o con [tex]GF(p^m)[/tex].
Nel seguito giustifico questa affermazione.
Ogni campo finito [tex]F[/tex] ha caratteristica finita [tex]p[/tex] ed è spazio vettoriale sul suo campo primo (l'intersezione dei suoi sottocampi), che dev'essere [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. Detta quindi [tex]m[/tex] la sua dimensione si ha [tex]|F|=p^m[/tex] essendo ogni elemento determinato dai coefficienti dati ai vettori di una base, e a questo punto essendo [tex]F-\{1\}[/tex] un gruppo moltiplicativo di ordine [tex]p^m-1[/tex] si deve avere [tex]x^{p^m-1}=1[/tex] per ogni [tex]x \in F-\{1\}[/tex], in altre parole [tex]x^{p^m}-x=0[/tex] per ogni [tex]x \in F[/tex]. In particolare F è campo di spezzamento per il polinomio [tex]x^{p^m}-x[/tex], quindi due campi con [tex]p^m[/tex] elementi sono sempre isomorfi (sono campi di spezzamento di uno stesso polinomio).
Ne segue che possiamo definire [tex]GF(p^m)[/tex] come un campo di spezzamento del polinomio [tex]x^{p^m}-x[/tex] su [tex]\mathbb{F}_p[/tex] (per questo si rimanda al teorema di esistenza dei campi di spezzamento).
E' spesso utile fare la seguente costruzione: si prende un polinomio irriducibile [tex]f(x)[/tex] di grado [tex]m[/tex] in [tex]\mathbb{F}_p[X][/tex] (si può dimostrare che esso esiste) e si definisce [tex]GF(p^m):=\mathbb{F}_p[X]/(f(x))[/tex].
Tento di fare un po' di ordine.
Per ogni primo [tex]p[/tex] ed ogni intero [tex]m>1[/tex] esiste esattamente un campo con [tex]p^m[/tex] elementi a meno di isomorfismi. Di solito tale campo si indica con [tex]\mathbb{F}_{p^m}[/tex] o con [tex]GF(p^m)[/tex].
Nel seguito giustifico questa affermazione.
Ogni campo finito [tex]F[/tex] ha caratteristica finita [tex]p[/tex] ed è spazio vettoriale sul suo campo primo (l'intersezione dei suoi sottocampi), che dev'essere [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. Detta quindi [tex]m[/tex] la sua dimensione si ha [tex]|F|=p^m[/tex] essendo ogni elemento determinato dai coefficienti dati ai vettori di una base, e a questo punto essendo [tex]F-\{1\}[/tex] un gruppo moltiplicativo di ordine [tex]p^m-1[/tex] si deve avere [tex]x^{p^m-1}=1[/tex] per ogni [tex]x \in F-\{1\}[/tex], in altre parole [tex]x^{p^m}-x=0[/tex] per ogni [tex]x \in F[/tex]. In particolare F è campo di spezzamento per il polinomio [tex]x^{p^m}-x[/tex], quindi due campi con [tex]p^m[/tex] elementi sono sempre isomorfi (sono campi di spezzamento di uno stesso polinomio).
Ne segue che possiamo definire [tex]GF(p^m)[/tex] come un campo di spezzamento del polinomio [tex]x^{p^m}-x[/tex] su [tex]\mathbb{F}_p[/tex] (per questo si rimanda al teorema di esistenza dei campi di spezzamento).
E' spesso utile fare la seguente costruzione: si prende un polinomio irriducibile [tex]f(x)[/tex] di grado [tex]m[/tex] in [tex]\mathbb{F}_p[X][/tex] (si può dimostrare che esso esiste) e si definisce [tex]GF(p^m):=\mathbb{F}_p[X]/(f(x))[/tex].
"Martino":
Ciao
Tento di fare un po' di ordine.
Per ogni primo [tex]p[/tex] ed ogni intero [tex]m>1[/tex] esiste esattamente un campo con [tex]p^m[/tex] elementi a meno di isomorfismi. Di solito tale campo si indica con [tex]\mathbb{F}_{p^m}[/tex] o con [tex]GF(p^m)[/tex].
Nel seguito giustifico questa affermazione.
Ogni campo finito [tex]F[/tex] ha caratteristica finita [tex]p[/tex] ed è spazio vettoriale sul suo campo primo (l'intersezione dei suoi sottocampi), che dev'essere [tex]\mathbb{F}_p[/tex]. Detta quindi [tex]m[/tex] la sua dimensione si ha [tex]|F|=p^m[/tex] essendo ogni elemento determinato dai coefficienti dati ai vettori di una base, e a questo punto essendo [tex]F-\{1\}[/tex] un gruppo moltiplicativo di ordine [tex]p^m-1[/tex] si deve avere [tex]x^{p^m-1}=1[/tex] per ogni [tex]x \in F-\{1\}[/tex], in altre parole [tex]x^{p^m}-x=0[/tex] per ogni [tex]x \in F[/tex]. In particolare F è campo di spezzamento per il polinomio [tex]x^{p^m}-x[/tex], quindi due campi con [tex]p^m[/tex] elementi sono sempre isomorfi (sono campi di spezzamento di uno stesso polinomio).
Ne segue che possiamo definire [tex]GF(p^m)[/tex] come l'insieme degli zeri del polinomio [tex]x^{p^m}-x[/tex] in una chiusura algebrica di [tex]\mathbb{F}_p[/tex].
E' spesso utile fare la seguente costruzione: si prende un polinomio irriducibile [tex]f(x)[/tex] di grado [tex]m[/tex] in [tex]\mathbb{F}_p[X][/tex] (si può dimostrare che esso esiste) e si definisce [tex]GF(p^m):=\mathbb{F}_p[X]/(f(x))[/tex].
grazie mille della risposta Martino.
Comunque conosci degli appunti on line a riguardo (anche in inglese)?
Posso farti una domanda Martino?
Il teorema che ci assicura l'esistenza di tali campi finiti, non ci permette direttamente di affermare che in caratteristica $p$ esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado? O si dimostra anche in modo diverso?
Io ho sempre creduto che fosse un corollario a questo teorema.
Il teorema che ci assicura l'esistenza di tali campi finiti, non ci permette direttamente di affermare che in caratteristica $p$ esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado? O si dimostra anche in modo diverso?
Io ho sempre creduto che fosse un corollario a questo teorema.
"mistake89":Come esattamente? Non vedo un argomento immediato, ... forse mi sbaglio.
Il teorema che ci assicura l'esistenza di tali campi finiti, non ci permette direttamente di affermare che in caratteristica $p$ esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado?
Non ho mai formalizzato il tutto però a livello intuitivo mi dicevo... se il campo finito di ordine $p^n$ si costruisce prendendo un polinomio di grado $n$ irriducibile su $ZZ_p$ allora, dato che esiste per ogni $n$, esisterà un polinomio di grado $n$ irriducibile per ogni $n$...
"mistake89":No, piano: il teorema di esistenza (per come lo conosco io, e per come l'ho qui riportato) dice semplicemente che il campo di spezzamento di [tex]x^{p^m}-x[/tex] su [tex]\mathbb{F}_p[/tex] e' un campo di ordine [tex]p^m[/tex]. Non credo che da qui tu riesca a dedurre facilmente l'esistenza di un polinomio irriducibile di grado [tex]m[/tex]. Ti serve almeno il fatto che il gruppo [tex]\mathbb{F}_{p^m}-\{0\}[/tex] e' ciclico, cosi' da poter esprimere il campo [tex]\mathbb{F}_{p^m}[/tex] come estensione semplice di [tex]\mathbb{F}_p[/tex] e considerare il polinomio minimo di un elemento primitivo.
Non ho mai formalizzato il tutto però a livello intuitivo mi dicevo... se il campo finito di ordine $p^n$ si costruisce prendendo un polinomio di grado $n$ irriducibile su $ZZ_p$ allora, dato che esiste per ogni $n$, esisterà un polinomio di grado $n$ irriducibile per ogni $n$...
Sì ho capito e credo che abbia ragione... ho saltato più di un passaggio!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo