Estensione di campo
Sia $Q$ il campo dei razionali, sia $E=Q(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ un estensione di campo, in cui le uniche relazioni a valori nel campo base $Q$ siano le relazioni simmetriche in $x_1,x_2,..,x_n$ allora $E$ risulta essere il campo di spezzamento del polinomio $p(x)=(x-x_1)•(x-x_2)•.......•(x-x_n)$?
Risposte
Non capisco cosa significa la frase in cui le uniche relazioni a valori nel campo base $Q$ siano le relazioni simmetriche
Con relazioni simmetriche elementari tra le radici a valori in $Q$ intendo le razioni di Viete', che ad esempio nel caso di un polinomio di $2°$ risultano $x_1•x_2=a_1$ ed $x_2+x_2=a_2$ dove $a_1$ ed $a_2$ sono i coefficienti del polinomio $a_1+a_2x+x^2$.
Se $E$ è il campo di spezzamento del polinomio generico $p(x)$ a coefficienti in $Q$, ed le uniche relazioni tra le radici a valori in $Q$ sono le relazioni simmetriche elementari, allora il gruppo di galois di tale polinomio è $S_n$ , cioè il gruppo simmetrico, e risulta $[E]=n!$ . È falso?
Se $E$ è il campo di spezzamento del polinomio generico $p(x)$ a coefficienti in $Q$, ed le uniche relazioni tra le radici a valori in $Q$ sono le relazioni simmetriche elementari, allora il gruppo di galois di tale polinomio è $S_n$ , cioè il gruppo simmetrico, e risulta $[E]=n!$ . È falso?
Ma cos'hai contro l'uso della notazione universalmente riconosciuta di $\mathbb Q$ e non $Q$ per il campo dei razionali??
Ok $\mathbb Q$ !
È falso quanto ho affermato nel post precedente sopra?
È falso quanto ho affermato nel post precedente sopra?
"francicko":
Ok $\mathbb Q$ !
È falso quanto ho affermato nel post precedente sopra?
E' vero perchè la condizione non è mai verificata.
Che significa è vero perché la condizione non è mai verificata?
Non riesco a capire la domanda, è ovvio che le relazioni di cui parli non saranno mai le uniche possibili perché ce ne sono un'infinità che possono essere dedotte da queste. Per esempio nel caso di $X^2+1$, con $x_1=i$ e $x_2=-i$, abbiamo le relazioni $x_1x_2=1$ e $x_1+x_2=0$ ma anche $x_1^2+x_2^2=-2$ oppure $x_1^3+x_2^3=0$, eccetera.
"francicko":
Che significa è vero perché la condizione non è mai verificata?
Falso implica vero è vero.
"Martino":
Non riesco a capire la domanda, è ovvio che le relazioni di cui parli non saranno mai le uniche possibili perché ce ne sono un'infinità che possono essere dedotte da queste.
Ok! Infatti dal teorema sulle funzioni simmetriche si deduce che ogni polinomio simmetrico è esprimibile come somma e prodotto dei polinomi simmetrici elementari . Riformulo la domanda se nel campo di spezzamento abbiamo solo funzioni simmetriche delle radici allora il gruppo di Galois risulta essere $S_n$?
Ma è facile dedurre infinite relazioni asimmetriche, per esempio nel caso di $x_1=i$, $x_2=-i$ abbiamo $x_1^2+2x_2^2=-3$ oppure $x_1^3 x_2 = -1$. In generale si possono generare infinite relazioni tra le radici, di queste ce ne saranno infinite simmetriche e infinite asimmetriche.
Non si capisce cosa stai chiedendo.
Non si capisce cosa stai chiedendo.
L'unica maniera in cui le radici di un polinomio non soddisfano alcuna altra relazione polinomiale a parte quelle imposte dai polinomi simmetrici elementari è quando una di loro è trascendente. Del resto questo non può succedere... Probabilmente però anche io non ho capito la domanda
"megas_archon":
Probabilmente però anche io non ho capito la domanda
Neanche OP credo.
Vabbè ma ormai ce lo teniamo come animalcolo domestico, le stesse domande da anni, domande che più spesso che altro sono puro grammelot, e sempre la solita reazione alla sempre solita risposta... Speriamo che prima o poi serva!
"francicko":Comunque a parte il discorso sulle uniche relazioni (che rimane incomprensibile), mi sembra strano chiedere se $E$ (che è generato dalle radici per definizione) è campo di spezzamento di $P(x) = (x-x_1) ... (x-x_n)$. Cioè, $E$ è campo di spezzamento di $P(x)$ praticamente per definizione.
Sia $Q$ il campo dei razionali, sia $E=Q(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ un estensione di campo, in cui le uniche relazioni a valori nel campo base $Q$ siano le relazioni simmetriche in $x_1,x_2,..,x_n$ allora $E$ risulta essere il campo di spezzamento del polinomio $p(x)=(x-x_1)•(x-x_2)•.......•(x-x_n)$?
In altre parole, è stranissimo prendere il campo generato dalle radici e chiedersi se è generato dalle radici.
Ora, il problema è che non ha senso dire che $E$ è il campo di spezzamento e basta, bisogna dire su quale campo. La scelta ovvia è che prendiamo $F$ = il campo generato dai coefficienti di $P(x)$ e ci chiediamo se $E$ è campo di spezzamento di $P(x)$ su $F$. Ma questo è ovviamente vero perché $E$ è generato dalle radici su $QQ$, e quindi anche su $F$. Tutt'altra questione è chiedersi se $F=QQ$, e la risposta dipende dalle radici. In ogni caso, è ovvio che le radici sono elementi algebrici su $F$.
Scusa ma il gruppo di galois di in polinomio di $2°$ a coefficienti nei razionalinon è il gruppo identico od $S_2$?
Il polinomio $x^2+1$ che ha radici $i$ ed $-i$ il cui campo di spezzamento $Q(i)$ non ha due automorfismi che mantengono fisso $Q$, l'identico ed $phi$ con $phi(i)=-i, phi(-i)=i$ e quindi come gruppo di galois $S_2$ ?
Non deve risultare $(phi(x_1))^2+2(phi(x_2))^2=phi(-3)=-3$ ed $(phi(x_1))^3phi(x_2)=phi(-1)=-1$?
Il polinomio $x^2+1$ che ha radici $i$ ed $-i$ il cui campo di spezzamento $Q(i)$ non ha due automorfismi che mantengono fisso $Q$, l'identico ed $phi$ con $phi(i)=-i, phi(-i)=i$ e quindi come gruppo di galois $S_2$ ?
Non deve risultare $(phi(x_1))^2+2(phi(x_2))^2=phi(-3)=-3$ ed $(phi(x_1))^3phi(x_2)=phi(-1)=-1$?
Sì ma non capisco cosa vuoi dire con questo. Come vedi ci sono relazioni asimmetriche soddisfatte dalle radici (quindi le relazioni soddisfatte non sono solo quelle simmetriche).
Ah ho capito cosa stai chiedendo. Quando dici "relazioni simmetriche" le intendi simmetriche con le radici già sostituite. Cioè una relazione polinomiale tra le radici la chiami simmetrica se è invariante rispetto a qualsiasi permutazione delle radici (non delle variabili). E la tua domanda non è "$E$ è campo di spezzamento?", la tua domanda è "il gruppo di Galois è isomorfo a $S_n$?".
Stai chiedendo la cosa seguente. Se ho $P(x) in QQ[x]$, $r_1,...,r_n$ le sue radici, e $sigma in S_n$ tale che per ogni $f(x_1,...,x_n) in QQ[x_1,...,x_n]$ tale che $f(r_1,...,r_n)=0$ si ha $f(r_(sigma(1)),...,r_(sigma(n)))=0$ allora è vero che $sigma$ si estende a un elemento del gruppo di Galois? E viceversa, è vero che ogni elemento del gruppo di Galois induce una permutazione delle radici che soddisfa quanto sopra per ogni $f$?
In altre parole la tua domanda è: "le permutazioni delle radici che inducono elementi del gruppo di Galois sono esattamente quelle che preservano ogni relazione polinomiale tra le radici?"
La risposta è sì, vedi per esempio qui.
Comunque ripeto che la tua formulazione della domanda nel post di apertura non è comprensibile. Solo adesso ho capito che cosa volevi dire.
Stai chiedendo la cosa seguente. Se ho $P(x) in QQ[x]$, $r_1,...,r_n$ le sue radici, e $sigma in S_n$ tale che per ogni $f(x_1,...,x_n) in QQ[x_1,...,x_n]$ tale che $f(r_1,...,r_n)=0$ si ha $f(r_(sigma(1)),...,r_(sigma(n)))=0$ allora è vero che $sigma$ si estende a un elemento del gruppo di Galois? E viceversa, è vero che ogni elemento del gruppo di Galois induce una permutazione delle radici che soddisfa quanto sopra per ogni $f$?
In altre parole la tua domanda è: "le permutazioni delle radici che inducono elementi del gruppo di Galois sono esattamente quelle che preservano ogni relazione polinomiale tra le radici?"
La risposta è sì, vedi per esempio qui.
Comunque ripeto che la tua formulazione della domanda nel post di apertura non è comprensibile. Solo adesso ho capito che cosa volevi dire.
Io invece credo che la domanda di OP sia questa: considera un polinomio a coefficienti razionali; le sue radici soddisfano [nel suo campo di spezzamento] le relazioni di Viète. E' possibile che le radici soddisfino unicamente quelle relazioni?
A questo punto OP è (come al solito) molto confuso e cerca di colpirsi da solo, perché il fatto stesso di aver supposto che le radici di $p$ esistano significa che esiste un altra relazione, che non è nessuna delle relazioni di Viète, soddisfatta da queste ultime.
A questo punto uno può domandarsi: bene, consideriamo allora $p$, il suo campo di spezzamento, le radici \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) in esso, e le relazioni di Viète insieme alla relazione $p(\alpha_i)=0$; è possibile che non esistano altre relazioni soddisfatte dalle radici? La risposta è no, ovviamente, ma apparentemente non riusciamo a convincere OP...
A questo punto OP è (come al solito) molto confuso e cerca di colpirsi da solo, perché il fatto stesso di aver supposto che le radici di $p$ esistano significa che esiste un altra relazione, che non è nessuna delle relazioni di Viète, soddisfatta da queste ultime.
A questo punto uno può domandarsi: bene, consideriamo allora $p$, il suo campo di spezzamento, le radici \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) in esso, e le relazioni di Viète insieme alla relazione $p(\alpha_i)=0$; è possibile che non esistano altre relazioni soddisfatte dalle radici? La risposta è no, ovviamente, ma apparentemente non riusciamo a convincere OP...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo