Estensione del campo razionale
Ciao a tutti,
ho da svolgere questo esercizio ma non so come procedere.
Devo dimostrare che $\mathbb{Q}[\sqrt{3},6^(1/3)] = \mathbb{Q}[\sqrt{3}+6^(1/3)]$ facendo vedere che $\sqrt{3}$ e $6^(1/3)$ ammettono una scrittura come espressioni polinomiali in $\alpha=\sqrt{3}+6^(1/3)$ a coefficienti razionali.
Ho calcolato il polinomio minimo di $\alpha$ che dovrebbe essere
$p(x)=x^6-9x^4-12x^3+27x^2-108x+9$
dunque mi pare di poter dire che
$\mathbb{Q}[\alpha]={a+b*\alpha+c*\alpha^2+d*\alpha^3+e*\alpha^4+f*\alpha^5}$ ma non so come determinare tali coefficienti per scrivere $\sqrt{3}$ e $6^(1/3)$.
Qualcuno ha qualche suggerimento? Grazie!
(l'esponente di $6$ è $1/3$, scusate, ma non sono riuscita a inserire il simbolo di radice $n$-sima.
ho da svolgere questo esercizio ma non so come procedere.
Devo dimostrare che $\mathbb{Q}[\sqrt{3},6^(1/3)] = \mathbb{Q}[\sqrt{3}+6^(1/3)]$ facendo vedere che $\sqrt{3}$ e $6^(1/3)$ ammettono una scrittura come espressioni polinomiali in $\alpha=\sqrt{3}+6^(1/3)$ a coefficienti razionali.
Ho calcolato il polinomio minimo di $\alpha$ che dovrebbe essere
$p(x)=x^6-9x^4-12x^3+27x^2-108x+9$
dunque mi pare di poter dire che
$\mathbb{Q}[\alpha]={a+b*\alpha+c*\alpha^2+d*\alpha^3+e*\alpha^4+f*\alpha^5}$ ma non so come determinare tali coefficienti per scrivere $\sqrt{3}$ e $6^(1/3)$.
Qualcuno ha qualche suggerimento? Grazie!
(l'esponente di $6$ è $1/3$, scusate, ma non sono riuscita a inserire il simbolo di radice $n$-sima.
Risposte
Hai provato ad esplicitare le potenze di \(\displaystyle\alpha\) e imporre le opportune condizioni?
Intendi imporre la condizione
$\sqrt{3}=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+a_4\alpha^4+a_5\alpha^5$
e risolvere per determinare i coefficienti?
$\sqrt{3}=a_0+a_1\alpha+a_2\alpha^2+a_3\alpha^3+a_4\alpha^4+a_5\alpha^5$
e risolvere per determinare i coefficienti?
Sì, esattamente!
Ok, ho fatto come dicevi.
Ho sviluppato le potenze di $\alpha$ fino alla quinta, quindi ho trovato una combinazione lineare di ${1,\sqrt{3},6^{1/3},\sqrt{3}6^{1/3}, \sqrt{3}6^{2/3}, 6^{2/3}}$ che se non sbaglio è un insieme di generatori del campo $\mathbb{Q}[\sqrt{3},6^{1/3}]$.
così ho trovato un sistema di 6 incognite in 6 equazioni, che effettivamente ha soluzione razionale.
Ti ringrazio, speravo ci fosse una via più breve.
(con $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ per esempio si utilizza la scrittura di $1/\alpha$ se non ricordo male, ma non saprei come adattare il metodo in questo caso).
Comunque grazie, in qualche modo ora i coefficienti ci sono
Ho sviluppato le potenze di $\alpha$ fino alla quinta, quindi ho trovato una combinazione lineare di ${1,\sqrt{3},6^{1/3},\sqrt{3}6^{1/3}, \sqrt{3}6^{2/3}, 6^{2/3}}$ che se non sbaglio è un insieme di generatori del campo $\mathbb{Q}[\sqrt{3},6^{1/3}]$.
così ho trovato un sistema di 6 incognite in 6 equazioni, che effettivamente ha soluzione razionale.
Ti ringrazio, speravo ci fosse una via più breve.
(con $\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$ per esempio si utilizza la scrittura di $1/\alpha$ se non ricordo male, ma non saprei come adattare il metodo in questo caso).
Comunque grazie, in qualche modo ora i coefficienti ci sono
In parte ti ho potuto aiutare, ma non mi sono venuti in mente trucchi per evitare i calcoli (ammesso che ce ne siano);
sul sistema di generatori non mi esprimo.
P.S.: Per scrivere \(\displaystyle\sqrt[m]{n}\) si usa il codice LaTeX
sul sistema di generatori non mi esprimo.
P.S.: Per scrivere \(\displaystyle\sqrt[m]{n}\) si usa il codice LaTeX
\sqrt[m]{n}
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