Esponenziale di quaternioni
E' vero che:
Per un quaternione immaginario puro $z=bi+cj+dk$
si ha:
$
e^z=e^{bi+cj+dk}=e^{bi}e^{cj}e^{dk}
$
se e solo se
$k=b/\pi$, $h=c/\pi$, $l=d/\pi$ e $n=|z|/\pi$ sono interi che formano una quaterna pitagorica con $n^2=k^2+h^2+l^2$ ?
A me sembra che sia possibile dimostrarlo utilizzando la rappresentazione dei quaternioni con matrici $2\times 2$ a entrate complesse e usando i risultati sull'esponenziale di matrici qui. Ma non c'è un altro modo?
Per un quaternione immaginario puro $z=bi+cj+dk$
si ha:
$
e^z=e^{bi+cj+dk}=e^{bi}e^{cj}e^{dk}
$
se e solo se
$k=b/\pi$, $h=c/\pi$, $l=d/\pi$ e $n=|z|/\pi$ sono interi che formano una quaterna pitagorica con $n^2=k^2+h^2+l^2$ ?
A me sembra che sia possibile dimostrarlo utilizzando la rappresentazione dei quaternioni con matrici $2\times 2$ a entrate complesse e usando i risultati sull'esponenziale di matrici qui. Ma non c'è un altro modo?
Risposte
Potresti utilizzare un isomorfismo tra \(\displaystyle\mathbb{H}\) e un sottocorpo di \(\displaystyle M(\mathbb{R};4)\) o se preferisci \(\displaystyle M(\mathbb{C};2)\); per ulteriori dettagli leggi qui!
Infatti ho usato la rappresentazione di quaternioni come matrici in $M(2,\mathbb{C})$, ma speravo ci fosse un metodo più diretto ...
Beh... un'altra sarebbe di cercare se è possibile estendere l'esponenziale complesso all'esponenziale quaternionico, alla stessa maniera di estendere l'esponenziale reale all'esponenziale complesso!
Riprendo questo vecchio post perché non riesco a venire a capo del problema.
Provo a d esporre il problema in modo dettagliato, sperando che qualcuno abbia voglia di leggere.
Dato un quaternione immaginario:
$
\mathbf{v}=\alpha \mathbf{i}+ \beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}
$
il suo esponenziale è:
$
e^\mathbf{v}=\cos \theta +\mathbf{v}\frac {\sin \theta}{\theta}
$
dove $\theta=|\mathbf{v}|=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}$.
In generale si ha:
\[
e^\mathbf{v}=e^{\alpha \mathbf{i}+ \beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}} \ne e^{\alpha \mathbf{i}} e^{\beta \mathbf{j}} e^{\gamma \mathbf{k}}
\]
Mi chiedo sotto quali condizioni valga invece l'uguaglianza con il prodotto degli esponenziali delle componenti.
Non è difficile provare che una condizione sufficiente è che: $ \alpha=h\pi$, $\beta=k\pi $ e $\gamma=j \pi$ , dove $h,k,j$ sono i primi tre numeri di una quaterna pitagorica $h^2+k^2+j^2=l^2 \quad h,k,j,l \in \mathbb{N}/0$. In tal caso infatti $\theta= l \pi$ e quindi $e^\mathbf{v}=-1$ ( negativo perché il numero più grande di una quaterna pitagorica è sempre dispari) e anche:
\[
e^{\alpha \mathbf{i}} e^{\beta \mathbf{j}} e^{\gamma \mathbf{k}}= \cos(h\pi)\cos(k \pi) cos( j\pi)=-1
\]
perché i primi tre termini della quaterna sono sempre due pari e un dispari.
Questa condizione mi sembra piuttosto forte e mi chiedo se esista qualche condizione più debole o se sia possibile determinare una condizione necessaria.
Supponendo (per semplificare i segni) che $\alpha,\beta,\gamma > 0$, calcolando il prodotto degli esponenziali e eguagliando i termini linearmente indipendenti, ottengo il sistema:
\[
\begin{cases}
\theta\left( \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \sin\gamma\right)= \alpha \sin \theta\\
\theta\left(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin\gamma\right)=\beta \sin \theta\\
\theta\left(\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \sin \alpha \sin \beta \cos\gamma \right)=\gamma \sin \theta\\
\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin\gamma= \cos \theta
\end{cases}
\]
(SALVO ERRORI .......) che, a parte la soluzione precedente, è per me è decisamente intrattabile.
Trasferendo il calcolo il $M(2,\mathbb{C})$ non si guadagna nulla in termini di semplicità e si arriva in sostanza allo stesso sistema (intrattabile ?).
Qualcuno sa come risolverlo, o provare che ha (o non ha) soluzioni diverse dalla precedente? Oppure ha qualche idea per affrontare il problema in altro modo?
Messa in altri termini: esiste un quaternione immaginario tale che
\[
e^\mathbf{v}=e^{\alpha \mathbf{i}+ \beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}} = e^{\alpha \mathbf{i}} e^{\beta \mathbf{j}} e^{\gamma \mathbf{k}}
\]
senza che $\alpha/\pi, \beta/\pi,\gamma/\pi$ siano i primi tre termini di una quaterna pitagorica?.
Provo a d esporre il problema in modo dettagliato, sperando che qualcuno abbia voglia di leggere.
Dato un quaternione immaginario:
$
\mathbf{v}=\alpha \mathbf{i}+ \beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}
$
il suo esponenziale è:
$
e^\mathbf{v}=\cos \theta +\mathbf{v}\frac {\sin \theta}{\theta}
$
dove $\theta=|\mathbf{v}|=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}$.
In generale si ha:
\[
e^\mathbf{v}=e^{\alpha \mathbf{i}+ \beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}} \ne e^{\alpha \mathbf{i}} e^{\beta \mathbf{j}} e^{\gamma \mathbf{k}}
\]
Mi chiedo sotto quali condizioni valga invece l'uguaglianza con il prodotto degli esponenziali delle componenti.
Non è difficile provare che una condizione sufficiente è che: $ \alpha=h\pi$, $\beta=k\pi $ e $\gamma=j \pi$ , dove $h,k,j$ sono i primi tre numeri di una quaterna pitagorica $h^2+k^2+j^2=l^2 \quad h,k,j,l \in \mathbb{N}/0$. In tal caso infatti $\theta= l \pi$ e quindi $e^\mathbf{v}=-1$ ( negativo perché il numero più grande di una quaterna pitagorica è sempre dispari) e anche:
\[
e^{\alpha \mathbf{i}} e^{\beta \mathbf{j}} e^{\gamma \mathbf{k}}= \cos(h\pi)\cos(k \pi) cos( j\pi)=-1
\]
perché i primi tre termini della quaterna sono sempre due pari e un dispari.
Questa condizione mi sembra piuttosto forte e mi chiedo se esista qualche condizione più debole o se sia possibile determinare una condizione necessaria.
Supponendo (per semplificare i segni) che $\alpha,\beta,\gamma > 0$, calcolando il prodotto degli esponenziali e eguagliando i termini linearmente indipendenti, ottengo il sistema:
\[
\begin{cases}
\theta\left( \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \sin\gamma\right)= \alpha \sin \theta\\
\theta\left(\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin\gamma\right)=\beta \sin \theta\\
\theta\left(\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma + \sin \alpha \sin \beta \cos\gamma \right)=\gamma \sin \theta\\
\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin\gamma= \cos \theta
\end{cases}
\]
(SALVO ERRORI .......) che, a parte la soluzione precedente, è per me è decisamente intrattabile.
Trasferendo il calcolo il $M(2,\mathbb{C})$ non si guadagna nulla in termini di semplicità e si arriva in sostanza allo stesso sistema (intrattabile ?).
Qualcuno sa come risolverlo, o provare che ha (o non ha) soluzioni diverse dalla precedente? Oppure ha qualche idea per affrontare il problema in altro modo?
Messa in altri termini: esiste un quaternione immaginario tale che
\[
e^\mathbf{v}=e^{\alpha \mathbf{i}+ \beta \mathbf{j}+\gamma \mathbf{k}} = e^{\alpha \mathbf{i}} e^{\beta \mathbf{j}} e^{\gamma \mathbf{k}}
\]
senza che $\alpha/\pi, \beta/\pi,\gamma/\pi$ siano i primi tre termini di una quaterna pitagorica?.
Forse dirò una banalità, ma l'esponenziale complesso è l'unico (a meno di bla bla bla che non ci interessano) morfismo di gruppi \((\mathbb{C}, +) \to (\mathbb{C}^{*}, \cdot)\), cercare di estenderlo ai quaternioni significa cercare un morfismo di gruppi \((\mathbb{H}, +) \to (\mathbb{H}^{*}, \cdot)\). Il problema è che il primo gruppo è abeliano, il secondo no, quindi si può subito porre una limitazione al problema: l'estensione è possibile solo verso dei sottocampi di \(\mathbb{H}\). Ora, esiste una qualche caratterizzazione di questi ragazzuoli?
In effetti questo problema deriva da uno più generale, che è proprio la caratterizzazione di anelli esponenziali. Vale a dire cosa succede dell'esponenziale con il passaggio da un campo come $\mathbb{C}$, in cui valgono tutte le belle proprietà che conosciamo, a un anello non commutativo.
Questa questione è posta in http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=133132&p=853338#p852086, ma anche lì non ho finora trovato una risposta e in effetti sembra che sia una questione complicata. Proprio per questo sto tentando di capirci qualcosa limitandomi a i quaternioni, che sono un anello non commutativo, ma per lo meno divisibile.
Un altro post collegato a questo problema è http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=134032&p=870971#p870971.
Tutto il problema parte da un articoletto che ho pubblicato sul magazine del sito: http://www.matematicamente.it/il-magazine/585-numero-20-settembre-2013/8355-189-esponenziale-di-matrici.
Questa questione è posta in http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=133132&p=853338#p852086, ma anche lì non ho finora trovato una risposta e in effetti sembra che sia una questione complicata. Proprio per questo sto tentando di capirci qualcosa limitandomi a i quaternioni, che sono un anello non commutativo, ma per lo meno divisibile.
Un altro post collegato a questo problema è http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=26&t=134032&p=870971#p870971.
Tutto il problema parte da un articoletto che ho pubblicato sul magazine del sito: http://www.matematicamente.it/il-magazine/585-numero-20-settembre-2013/8355-189-esponenziale-di-matrici.
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