Esplicitare k nella seguente equazione

[Sk_Anonymous]

$(W-k)^(-\gamma)/(\beta(2\thetasqrt(k))^(-\gamma))=\theta/sqrt(k)$

In origine era un problema di massimizzazione vincolata di una funzione di utilità; ho sostituito il vincolo nella funzione obiettivo e uguagliato a zero la derivata; ora, appunto, dovrei trovare il valore ottimo di k.

Se può servire, questa è la funzione originaria, da massimizzare rispetto a $C_0$ e $C_1$:

$U=((C_0)^(1-\gamma))/(1-\gamma)+\beta*((C_1)^(1-\gamma))/(1-\gamma)$

sotto i vincoli $C_0=W-k$ e $C_1=2\thetasqrt(k)$

La derivata penso di averla calcolata bene, però.

Ecco, ottenuta l'equazione di cui sopra, innanzitutto ho pensato potesse essere utile riscrivere i due termini in parentesi elevandoli a -1:

$(2\thetasqrt(k))^(\gamma)/((W-k)^(\gamma))=(\theta\beta)/sqrt(k)$

Dopodiché ne ho provate tante, in particolare elevare tutto a $1/\gamma$ e/o moltiplicare per $sqrt(k)$ (a tal proposito, tra l'altro, $(2\thetasqrt(k))^(\gamma)*sqrt(k)$ fa $(2\theta)^(\gamma)*(sqrt(k))^(1+\gamma)$ - applicando a $sqrt(k)$ la regola del prodotto di potenze - oppure $(2\thetak)^(\gamma)$ - perché semplicemente se ne va la radice quadrata?) ma in un modo o nell'altro mi trovo sempre nell'impossibilità/incapacità di esplicitare k. Qualcuno mi aiuta?

Avevo già postato in altra sezione e mi è stato giustamente suggerito di spostarmi. Spero di non aver sbagliato di nuovo (ho scelto questo e non il forum "economia" perché sostanzialmente la soluzione so come impostarla, per cui il mio diventa "semplicemente" un problema di algebra).

[*pizzaf40]

La derivata secondo me non è corretta (non hai fatto la derivata di funzione composta):

$(dU)/(d gamma)=(1-gamma)/(1-gamma) C_0^(-gamma) + (C_0^(1-gamma))/((1-gamma)^2) + beta (1-gamma)/(1-gamma) C_1^(-gamma) + beta (C_1^(1-gamma))/((1-gamma)^2)$
$C_0^(-gamma) + beta C_1^(-gamma) + (C_0^(1-gamma) + betaC_1^(1-gamma))/((1-gamma)^2)=0$
$(C_0^(-gamma) + beta C_1^(-gamma))(1+(C_0+beta C_1)/((1-gamma)^2))=0$

Quindi hai 2 soluzioni...quelle che annullano i singoli termini:

1)

$(W-k)^(-gamma)=-beta (2 theta sqrt k)^(-gamma)$

2)

$W-k+ 2 beta theta sqrt k+(1-gamma)^2=0$

che mi sembrano più che risolvibili, anche se con qualche rottura di doppie soluzioni