Esistono infiniti primi nella forma 6k+1?

[VincS]

Ciao a tutti, sono un semplice appassionato di Teoria dei Numeri e volevo chiedervi di aiutarmi a chiarire se esiste la possibilità o meno di dimostrare che i numeri primi nella forma esclusiva 6k+1 sono infiniti. Ho cercato in rete questa dimostrazione ma non sono riuscito a trovarne traccia. Ho cercato di spiegare in modo semplice anche per i neofiti come me.

Dando come assioma che 2 è il primo dei numeri primi si dimostra facilmente che 3 è il successivo numero primo (crivello di Eratostene, etc.). Ci basta conoscere questi due numeri primi per dimostrare che tutti gli altri numeri primi > 4 possono essere (non è corretto dire sono) solo nella forma 6k±1 (dove k è un numero qualsiasi). Esistono sicuramente dimostrazioni migliori della mia ma è facile constatare che in 6k+2 si può raccogliere il 2, in 6k+3 si può raccogliere il 3 e che in 6k+4 si può raccogliere sempre il 2.

Sappiamo come Euclide ha dimostrato che i numeri primi sono infiniti e come questo abbia qualcosa a che fare con il primoriale+1. Lo stesso ragionamento (anche se questo non è molto pubblicizzato) si può estendere a primoriale -1.

Ovviamente (+1)*(+1)=(+1), (+1)*(-1)=(-1), (-1)*(+1)=(-1), (-1)*(-1)=(+1). Questo vuol dire, ad esempio, che un numero primo nella forma 6y-1 moltiplicato per un numero primo nella forma 6x-1 produce un numero composto (detto anche semiprimo) nella forma 6z+1.

Tutto questo mi porta a concludere che è facilmente dimostrabile che i numeri primi nella forma 6k-1 sono infiniti conseguenza del fatto che o primoriale-1 è esso stesso un numero primo oppure, se non lo è, almeno uno dei fattori deve essere un numero primo nella forma 6k-1 (ovviamente diverso da quelli che compongono il primoriale). La stessa cosa non vale per primoriale+1 che potrebbe essere primo ma oppure essere composto ed avere un numero di fattori primi pari tutti nella forma 6k-1 (ovviamente tutti diversi da quelli che compongono il primoriale).

Quindi potrebbe esserci un numero finito di primi nella forma 6k+1. Si può dimostrare invece che esistono infiniti primi nella forma 6k+1?

Lo so che forse questo argomento non è degno di essere trattato da universitari e matematici di alto livello ma, nei vari forum all'interno di Matematicamente, non ho trovato posto migliore che in Teoria dei Numeri. Grazie.

[vict85]

Per prima cosa non ho capito esattamente che cosa sia un primoriale. In ogni caso sono entrambi infiniti, le dimostrazioni sono simili a quelle di euclide. Su internet si trovano.

La tua dimostrazione per il caso \(6k-1\) non vale perché basta un singolo fattore \(6k-1\) affinché il risultato sia del tipo \(6n-1\)

[Zero87]

Comunque se i primi gemelli sono infiniti - se ne parlava qui non molto tempo fa, mi sembra proprio vict85 che l'ha detto nella sezione generale della dimostrazione trovata da... da... non ricordo chi - automaticamente sono infiniti i primi della forma $6k+1$ e della forma $6k-1$.

[Martino]

Classicamente si procede come segue.

Si considera il polinomio [tex]P(X) = X^2-X+1[/tex] (è il sesto polinomio ciclotomico). Abbiamo

[tex]X^6-1 = (X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2-X+1)[/tex].

Supponiamo per assurdo che i primi del tipo [tex]6k+1[/tex] siano un numero finito, siano essi [tex]p_1,\ldots,p_h[/tex], sia [tex]a = 6 p_1 \cdots p_h[/tex] e sia [tex]p[/tex] un divisore primo di [tex]P(a) = a^2-a+1[/tex]. Osserviamo che [tex]a[/tex] è uno zero di [tex]P(X)[/tex] modulo [tex]p[/tex]. Mostriamo che [tex]a,a^2,a^3[/tex] non sono congrui a [tex]1[/tex] modulo [tex]p[/tex]. Useremo la legge di cancellazione in [tex]\mathbb{F}_p[/tex], che è un campo.

1) Se [tex]a \equiv 1[/tex] modulo [tex]p[/tex] allora [tex]0 \equiv P(a) = P(1) = 1[/tex] modulo [tex]p[/tex], assurdo.
2) Se [tex]a^2 \equiv 1[/tex] modulo [tex]p[/tex] allora [tex]a \equiv \pm 1[/tex] modulo [tex]p[/tex]. Il caso [tex]a \equiv 1[/tex] è trattato in (1), quindi ora supponiamo [tex]a \equiv -1[/tex] modulo [tex]p[/tex]. Allora [tex]0 \equiv P(a) = P(-1) = 3[/tex] modulo [tex]p[/tex] e quindi [tex]p=3[/tex], assurdo dato che [tex]3[/tex] divide [tex]a[/tex] e quindi [tex]P(a) \equiv 1 \mod(3)[/tex].
3) Se [tex]a^3 \equiv 1[/tex] modulo [tex]p[/tex] allora [tex]0 \equiv a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)[/tex] modulo [tex]p[/tex] e quindi, avendo già considerato il caso [tex]a \equiv 1 \mod(p)[/tex], possiamo supporre che sia [tex]a^2-a+1 \equiv 0 \mod(p)[/tex]. Ma allora [tex]0 \equiv P(a) = a^2-a+1 =(a^2+a+1)-2a = -2a[/tex] modulo [tex]p[/tex] da cui [tex]p=2[/tex] essendo [tex]a \not \equiv 0 \mod(p)[/tex]. Ma questo è assurdo perché [tex]2[/tex] divide [tex]a[/tex] e quindi [tex]P(a) \equiv 1 \mod(2)[/tex].

Con un po' di teoria (*) tutto questo si poteva ridurre a una semplice frase: poiché [tex]p[/tex] non divide [tex]6[/tex], [tex]X^6-1[/tex] non ha zeri multipli in [tex]\mathbb{F}_p[/tex] (teoria) e dunque polinomi ciclotomici corrispondenti a divisori distinti di [tex]6[/tex] hanno zeri distinti.

Morale, l'ordine moltiplicativo di [tex]a[/tex] modulo [tex]p[/tex] è proprio 6, infatti [tex]a^6=1[/tex] modulo [tex]p[/tex] (essendo che [tex]P(X)[/tex] divide [tex]X^6-1[/tex] e [tex]P(a)=0[/tex] modulo [tex]p[/tex]) e abbiamo appena visto che [tex]a,a^2,a^3 \neq 1 \mod(p)[/tex].

Ora, [tex]a \mod(p)[/tex] appartiene al gruppo [tex]\mathbb{F}_p-\{0\}[/tex], che ha [tex]p-1[/tex] elementi. Il suo ordine in tale gruppo è [tex]6[/tex]. Segue dal teorema di Lagrange che [tex]6[/tex] divide [tex]p-1[/tex], e quindi [tex]p[/tex] è del tipo [tex]6k+1[/tex] (!), cioè [tex]p \in \{p_1,\ldots,p_h\}[/tex], assurdo dato che [tex]p_1,\ldots,p_h[/tex] dividono [tex]a[/tex].

(*) Con un po' di teoria questo intero argomento si generalizza per dimostrare che fissato un qualsiasi intero positivo (e probabilmente anche negativo) [tex]n[/tex] esistono infiniti primi della forma [tex]nk+1[/tex] con [tex]k[/tex] intero positivo.

Segnalo che questo è un caso molto particolare del teorema di Dirichlet.

[vict85]

Non penso che l'autore abbia capito la dimostrazione ma è comunque interessante .

[VincS]

Ringrazio veramente tutti e, per quanto riguarda la dimostrazione di Martino, ... ci metterò anch'io 5 anni ma riuscirò a capirla!

"vict85":Per prima cosa non ho capito esattamente che cosa sia un primoriale. In ogni caso sono entrambi infiniti, le dimostrazioni sono simili a quelle di euclide. Su internet si trovano. La tua dimostrazione per il caso \(6k-1\) non vale perché basta un singolo fattore \(6k-1\) affinché il risultato sia del tipo \(6n-1\)

Per quanto riguarda il primoriale ...
http://it.wikipedia.org/wiki/Primoriale
Scusa vict85 ma perché dici che è sufficiente che uno dei fattori sia 6k-1? Se sono due i fattori nella forma 6k-1, il semiprimo è proprio quello usato da Euclide per la sua dimostrazione della infinità dei numeri primi ovvero nella forma 6k+1. Quello che in pratica volevo dire, e voi me lo confermate, è che mentre è sufficiente Euclide per dimostrare che i numeri primi nella forma 6k-1 sono infiniti ... bisogna ricorrere alla dimostrazione di Martino per dimostrare che anche quelli nella forma 6k+1 sono infiniti. vict85 mi metti per favore un link alla dimostrazione a cui fa riferimento Zero87? Grazie.

[vict85]

Penso che zero87 si riferisse al fatto che è stato dimostrato recentemente che ci sono infinite coppie di primi che distano tra di loro meno di un miglione di elementi (o qualcosa del genere). Ben diverso dal congettura, ancora aperta (per quel che ne so), dell'infinità di primi gemelli. Ho citato la cosa in generale, se cerchi goldbach in generale dovresti trovarla. Comunque non è il mio settore, quindi non saprei dove cercare l'articolo esatto.

[Zero87]

"vict85":Penso che zero87 si riferisse [ecc...]

Forse ho frainteso un pochino, però ricordavo questo
viewtopic.php?f=3&t=116003
e una successiva risposta di Luc@s.

Se non sfarfallo tanto, ricordo di aver letto (credo il link riportato da Luc@s) che la dimostrazione è già stata accettata o, comunque, che manca un tic per avere l'ok.

[vict85]

Ti ricordi male. Si sono solo avvicinati. Quello che è stato dimostrato è che: “there are infinitely many pairs of primes that are less than 70 million units apart”

[Zero87]

"vict85":Ti ricordi male. Si sono solo avvicinati. Quello che è stato dimostrato è che: “there are infinitely many pairs of primes that are less than 70 million units apart”

Ok, my bad, chiedo venia.

Allora correggo e aggiungo che "se" in futuro si dimostrerà che le coppie di primi gemelli sono infiniti, automaticamente segue che ci sono infiniti primi della forma $6k \pm 1$ (segno a scelta di quello che interessa).

Ovviamente, sottolineamo che come dice giustamente Martino, infiniti primi del tipo $6k+1$ è un corollario del teorema di Dirichlet.

[VincS]

E' un po' di giorni che penso ad una dimostrazione da "Euclide dei poveri" alternativa a quella di Dirichlet (ringrazio Martino per avermela indicata). Penso di averla trovata ma mi serve prima la dimostrazione di una congettura di cui ho la certezza ovvero che tutti i numeri composti nella forma 6k±1 hanno solo fattori nella forma 6k±1. Penso che per voi sia un gioco da ragazzi.

Eccola! Ammettiamo che i numeri primi nella forma 6k+1 sono in quantità finita. Abbiamo invece visto come sia facile dimostrare che i numeri primi nella forma 6k-1 sono in quantità infinita. Constatiamo che le combinazioni di fattorizzazione (+1)*(+1)=(+1), (+1)*(-1)=(-1), (-1)*(+1)=(-1), (-1)*(-1)=(+1) sono in assoluto equilibrio tra +1 e -1.
Se fosse vero quello che abbiamo ammesso, prendendo tutte le possibili combinazioni di fattorizzazione dei primi nella forma 6k±1, dobbiamo quindi aspettarci che i numeri composti nella forma 6k-1 diventino presto in quantità nettamente superiore ai numeri composti nella forma 6k+1. Aggiungendo anche la nostra ipotesi di partenza, ovvero che la quantità di numeri primi nella forma 6k+1 è finita, avremo che in generale i numeri nella forma 6k-1 siano presto in quantità assolutamente maggiore dei numeri nella forma 6k+1 il che è un assurdo visto che le due forme di numeri sono ordinate in coppie nella sequenza dei numeri naturali che va da 0 ad infinito. Abbiamo quindi anche dimostrato che i numeri primi nella forma 6k+1 sono in quantità infinita! Proprio da Euclide dei poveri.

[VincS]

Penso di averla trovata ma mi serve prima la dimostrazione di una congettura di cui ho la certezza ovvero che tutti i numeri composti nella forma 6k±1 hanno solo fattori nella forma 6k±1. Penso che per voi sia un gioco da ragazzi.

Orrore! Ma è ovvio, non c'è bisogno di dimostrare niente. Scomporre un numero significa trovarne tutti i fattori primi. Tutti i numeri primi sono nella forma 6k±1 (eccetto il 2 ed il 3 che però sono fattori del 6) perciò tutti i numeri composti nella forma 6k±1 hanno solo fattori nella forma 6k±1. Il che dimostra che esistono infiniti primi nella forma 6k+1 come da mio post precedente in questo argomento. Non è ovviamente sicuramente e prima ed unica dimostrazione di ciò (come spiegato da Martino) ma è sicuramente una dimostrazione valida ed alternativa.

[Martino]

No non va bene.

"VincS":avremo che in generale i numeri nella forma 6k-1 siano presto in quantità assolutamente maggiore dei numeri nella forma 6k+1 il che è un assurdo visto che le due forme di numeri sono ordinate in coppie nella sequenza dei numeri naturali che va da 0 ad infinito.

Questa frase purtroppo non chiarisce l'argomento.

[VincS]

"Martino":No non va bene. Questa frase purtroppo non chiarisce l'argomento.

Se dico che per ogni numero 6x-1 esiste il corrispettivo 6x+1 ... va meglio? Intendevo dire questo ma era per non ripetermi, nella forma ..., nella forma ..., etc.! ... ed ho tirato fuori la parola "coppia". Lo so che c'è qualche sbavatura nella stesura della dimostrazione ma spero concordi che con qualche rifinitura "formale" regge.

[Martino]

No non regge, mi dispiace. Puoi prenderla come la mia opinione, ma ti direi di fidarti.

[VincS]

"Martino":No non regge, mi dispiace. Puoi prenderla come la mia opinione, ma ti direi di fidarti.

Tanto rispetto, credimi, ma permettimi di perseverare nel mio errore. Ho rifinito, aggiunto qualche esempio e messo nel cassetto la mia dimostrazione. Non voglio perdermi in sterili discussioni per cui lascio perdere qui anche perché non saprei cosa altro dire. Però un sincero grazie e spero di imparare ancora qualcosa da tutti voi su qualche altro argomento.

[Martino]

Cerco di spiegarmi. Che i numeri primi da un certo punto in poi siano tutti (per assurdo) della forma 6k-1 non implica che anche i loro prodotti lo siano. Moltiplicando un numero pari di essi ottieni un numero della forma 6k+1.

[VincS]

"Martino":Cerco di spiegarmi. Che i numeri primi da un certo punto in poi siano tutti (per assurdo) della forma 6k-1 non implica che anche i loro prodotti lo siano. Moltiplicando un numero pari di essi ottieni un numero della forma 6k+1.

Penso di essermi espresso male ma di aver detto la stessa cosa nel post iniziale ...

"VincS": .... Tutto questo mi porta a concludere che è facilmente dimostrabile che i numeri primi nella forma 6k-1 sono infiniti conseguenza del fatto che o primoriale-1 è esso stesso un numero primo oppure, se non lo è, almeno uno dei fattori deve essere un numero primo nella forma 6k-1 (ovviamente diverso da quelli che compongono il primoriale). La stessa cosa non vale per primoriale+1 che potrebbe essere primo ma oppure essere composto ed avere un numero di fattori primi in quantità pari tutti nella forma 6k-1 (ovviamente tutti diversi da quelli che compongono il primoriale). ...

Nel mio blogghetto di appunti (senza nessuna pretesa se non quella di rappresentare un blocchetto di appunti) ho raccolto, ripulito ed aggiunto degli esempi alle idee raccolte qui. Nessun formalismo ma penso che sia tutto corretto.
Copiare qui mi porterebbe a perdere tutte le impostazioni come il grassetto dei caratteri http://wp.me/p3xZtZ-7

[VincS]

"VincS": Constatiamo che le combinazioni di moltiplicazione (+1)*(+1)=(+1), (+1)*(-1)=(-1), (-1)*(+1)=(-1), (-1)*(-1)=(+1) sono in assoluto equilibrio tra +1 e -1.

In realtà non è vero, o almeno, è vero ma non come lo intendevo in origine! Devo contraddirmi . Ho fatto le considerazioni di cui sotto. Vedremo però che questo non toglie nulla alla dimostrazione riguardo la quantità infinita dei primi nella forma 6k+1. Anzi si rafforza.

Ripartiamo dal calcolo del totale delle combinazioni di moltiplicazione per n variabili fino al primo grado (g=1) di elevazione a potenza delle stesse Tcm(n,g):
$ ( (n), (1) ) +( (n), (2) ) +...+( (n), (n) )= 2^n-1 $
Esempio per n=3 e g=1; Tcm(3,1)=3+3+1=7=2^3-1
Esempio per n=4 e g=1; Tcm(4,1)=4+6+4+1=15=2^4-1

Totale delle combinazioni di moltiplicazione per n variabili fino al secondo grado (g=2) di elevazione a potenza delle stesse Tcm(n,g):
$ ( (n), (1) ) * (2^1)+( (n), (2) )*(2^2) +...+( (n), (n) )*(2^n) $

Formula generale per il calcolo del numero Totale delle combinazioni di moltiplicazione per n variabili fino al grado g di elevazione a potenza delle stesse Tcm(n,g):
$ ( (n), (1) ) * (g^1)+( (n), (2) )*(g^2) +...+( (n), (n) )*(g^n) $
... (ultima qui sopra da sottoporre a verifica) ...

Esempio di verifica n=3, g=1;
Variabili: a, b, c
Combinazioni di moltiplicazione con 3 variabili fino al primo grado di elevazione a potenza:
$a$, $b$, $c$, $a*b$, $a*c$, $b*c$, $a*b*c$
Tcm(3,1)=7

Esempio di verifica n=3, g=2;
Variabili: a, b, c
Combinazioni di moltiplicazione con 3 variabili fino al secondo grado di elevazione a potenza.
$a$, $b$, $c$, $a^2$, $b^2$, $c^2$
$a*b$, $a*c$, $b*c$, $a^2*b$, $a*b^2$, $a^2*b^2$, $a^2*c$, $a*c^2$, $a^2*c^2$, $b^2*c$, $b*c^2$, $b^2*c^2$
$a*b*c$, $a^2*b*c$, $a*b^2*c$, $a*b*c^2$, $a^2*b^2*c$, $a^2*b*c^2$, $a*b^2*c^2$, $a^2*b^2*c^2$
Tcm(3,2)=6+12+8=26

Esempio di verifica n=3, g=3;
Variabili: a, b, c
Combinazioni di moltiplicazione con 3 variabili fino al terzo grado di elevazione a potenza.
$a$, $b$, $c$, $a^2$, $b^2$, $c^2$, $a^3$, $b^3$, $c^3$
$a*b$, $a^2*b$, $a*b^2$, $a^2*b^2$, $a^3*b$, $a*b^3$, $a^3*b^2$, $a^2*b^3$, $a^3*b^3$
$a*c$, $a^2*c$, $a*c^2$, $a^2*c^2$, $a^3*c$, $a*c^3$, $a^3*c^2$, $a^2*c^3$, $a^3*c^3$
$b*c$, $b^2*c$, $b*c^2$, $b^2*c^2$, $b^3*c$, $b*c^3$, $b^3*c^2$, $b^2*c^3$, $b^3*c^3$
$a*b*c$, $a^2*b*c$, $a*b^2*c$, $a*b*c^2$, $a^2*b^2*c$, $a^2*b*c^2$, $a*b^2*c^2$, $a^2*b^2*c^2$, ....... .......
Tcm(3,3)=9+27+27=26

.... (continua) ....

.... (per arrivare qui) ....

a=-1, b=-1, c=+1
Combinazioni di moltiplicazione con variabili fino al primo grado di elevazione a potenza.
a=-1, b=-1, c=+1
ab=+1, ac=-1, bc=-1
abc=+1
4 combinazioni di moltiplicazione pari a -1
3 combinazioni di moltiplicazione pari a +1

a=-1, b=-1, c=+1, d=+1
Combinazioni di moltiplicazione con variabili fino al primo grado di elevazione a potenza.
a=-1, b=-1, c=+1, d=+1
ab=+1, ac=-1, ad=-1, bc=-1, bd=-1, cd=+1
abc=+1, abd=+1, acd=-1, bcd=-1
abcd=+1
8 combinazioni di moltiplicazione pari a -1
7 combinazioni di moltiplicazione pari a +1

a=-1, b=-1, c=-1, d=+1
Combinazioni di moltiplicazione con variabili fino al primo grado di elevazione a potenza.
a=-1, b=-1, c=-1, d=+1
ab=+1, ac=+1, ad=-1, bc=+1, bd=-1, cd=-1
abc=-1, abd=+1, acd=+1, bcd=+1
abcd=-1
8 combinazioni di moltiplicazione pari a -1
7 combinazioni di moltiplicazione pari a +1

a=-1, b=+1, c=+1, d=+1
Combinazioni di moltiplicazione con variabili fino al primo grado di elevazione a potenza.
a=-1, b=+1, c=+1, d=+1
ab=-1, ac=-1, ad=-1, bc=+1, bd=+1, cd=+1
abc=-1, abd=-1, acd=-1, bcd=+1
abcd=-1
8 combinazioni di moltiplicazione pari a -1
7 combinazioni di moltiplicazione pari a +1