Esistenza di un omomorfismo
Ciao a tutti!
Ho questo esercizio da risolvere:
Siano $(A,\mathfrak M)$ un anello locale, $M$ un $A$-modulo finitamente generato, ed $m$ un elemento in $M\setminus\mathfrak M M$. Provare che esiste un omomorfismo di $A$-moduli $f:M\to A//\mathfrak M$ tale che $f(m)=\overline1$.
Io per il momento so due cosine. Siano $m_1,\ldots,m_t$ dei generatori per $M$. Allora posso scrivere $$m=a_1m_1+\ldots+a_tm_t$$ per certi $a_1,\ldots,a_t\in A$. Poiché $m$ non sta in $\mathfrak M M$, ho che almeno un $a_i$ non sta in $\mathfrak M$.
L'altra cosa che so è che questo esercizio è arrivato subito dopo la parte di lezioni sui prodotti tensori, quindi c'è la possibilità che una soluzione si possa trovare passando di là. Quello che ho pensato è che l'esistenza di una $f$ come si vuole sarebbe garantita dall'esistenza di una funzione bilineare $g:A\times M\to A//\mathfrak M$ tale che $g(1,m)=\overline1$. Infatti da questo punto in poi basta usare la proprietà universale del prodotto tensore e l'isomorfismo $$A\otimes_A M\stackrel{\sim}{\longrightarrow}M,\qquad a\otimes m\mapsto am.$$
Ho però la sensazione che questo giro per i prodotti tensori sia un po' inutile. E comunque non ho idea di come procedere
Ho questo esercizio da risolvere:
Siano $(A,\mathfrak M)$ un anello locale, $M$ un $A$-modulo finitamente generato, ed $m$ un elemento in $M\setminus\mathfrak M M$. Provare che esiste un omomorfismo di $A$-moduli $f:M\to A//\mathfrak M$ tale che $f(m)=\overline1$.
Io per il momento so due cosine. Siano $m_1,\ldots,m_t$ dei generatori per $M$. Allora posso scrivere $$m=a_1m_1+\ldots+a_tm_t$$ per certi $a_1,\ldots,a_t\in A$. Poiché $m$ non sta in $\mathfrak M M$, ho che almeno un $a_i$ non sta in $\mathfrak M$.
L'altra cosa che so è che questo esercizio è arrivato subito dopo la parte di lezioni sui prodotti tensori, quindi c'è la possibilità che una soluzione si possa trovare passando di là. Quello che ho pensato è che l'esistenza di una $f$ come si vuole sarebbe garantita dall'esistenza di una funzione bilineare $g:A\times M\to A//\mathfrak M$ tale che $g(1,m)=\overline1$. Infatti da questo punto in poi basta usare la proprietà universale del prodotto tensore e l'isomorfismo $$A\otimes_A M\stackrel{\sim}{\longrightarrow}M,\qquad a\otimes m\mapsto am.$$
Ho però la sensazione che questo giro per i prodotti tensori sia un po' inutile. E comunque non ho idea di come procedere
Risposte
Ciao, prova a fare il caso in cui $A$ è un campo. Fatto questo prendi il caso generale e applica [tex]\otimes_A k[/tex] dove [tex]k = A/\mathfrak{M}[/tex] è il campo residuo.
Grazie mille, Martino! Sei sempre illuminante! 
Vediamo se ho capito. Il caso di $M$ spazio vettoriale su un campo $A$ l'ho fatto.
Se tensorizzo un omomorfismo $M\to A//\mathfrak M$, se non sbaglio, esce fuori un omomorfismo $g:M//\mathfrak M M \to A//\mathfrak M$. Questo è il caso che conosco, ed essendo $m$ fuori di $\mathfrak M M$ trovo una $g$ tale che $g(\overline m)=\overline 1$. A questo punto compongo con la proiezione $\pi:M\to M//\mathfrak MM$ e dovrei avere la $f$ che cercavo.
Vediamo se ho capito. Il caso di $M$ spazio vettoriale su un campo $A$ l'ho fatto.
Se tensorizzo un omomorfismo $M\to A//\mathfrak M$, se non sbaglio, esce fuori un omomorfismo $g:M//\mathfrak M M \to A//\mathfrak M$. Questo è il caso che conosco, ed essendo $m$ fuori di $\mathfrak M M$ trovo una $g$ tale che $g(\overline m)=\overline 1$. A questo punto compongo con la proiezione $\pi:M\to M//\mathfrak MM$ e dovrei avere la $f$ che cercavo.
Pensavo più a comporre [tex]M \to M \otimes_A k \to k[/tex]. Il punto è che [tex]M \otimes_A k[/tex] è uno spazio vettoriale su $k$. Prego ciao 
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