Esistenza catene p-sottogruppi

[anto_zoolander]

Ciao!

avrei bisogno di un Check su questa dimostrazione(è stata brutalmente lasciata per esercizio)

sia $G$ un gruppo finito: se $HleqG$ è un $p$ sottogruppo di $G$ non di Sylow allora esiste $H'leqG$ tale che $H$ è normale in $H'$ e $[H':H]=p$

essendo $H$ un $p$ sottogruppo vale $[N_G(H):H]equiv[G](mod p)$

per completezza: $N_G(H)={x in G: xHx^(-1)=H}$

ora dato che $p$ divide l'ordine di $G$ si può porre $abs(G)=p^(alpha)m$ con $(p,m)=1$ e $p^(alpha)$ la massima potenza di $p$ che divide l'ordine del gruppo.
Visto che $H$, $abs(H)=p^(k),k
questo implica che $[N_G(H):H]equiv0(mod p) => p| [N_G(H):H]$

per il teorema di Cauchy esiste un $H_1leq(N_G(H))/H$ di ordine $p$

dalla proiezione canonica $pi:N_G(H)-> (N_G(H))/H$ si ottiene che $H':=pi^(leftarrow)(H_1)$ è un sottogruppo di $N_G(H)$ contente $H$(che è il nucleo)

essendo $H=Ker(pi)$ normale in $N_G(H)$ segue che è anche normale in $H'$

inoltre la restrizione $pi: H'->H_1$ è suriettiva da cui $(H')/HapproxH_1 => [H':H]=abs(H_1)=p$

[vict85]

"anto_zoolander":Visto che $H$, $abs(H)=p^(k),k
questo implica che $[N_G(H):H]equiv0(mod p) => p| [N_G(H):H]$

Forse sono io che sono arrugginito, ma questo passaggio mi sfugge. Insomma sicuramente si ha che \([G:N_G(H)][N_G(H):H] = mp^{\alpha-k}\), ma non trovo banale che si abbia \(p^{\alpha-k}\nmid [G:N_G(H)]\).

[anto_zoolander]

Ho usato la congruenza di sopra e che $[G]$ è un multiplo di $p$