Esistenza $2$-sottogruppo normale
Non riesco proprio a risolvere questo esercizio, mi aiutate?
Sia $G$ un gruppo finito di ordine $12$, dimostrare che esiste un $2$-sottogruppo normale non banale.
Adesso, eliminiamo il caso banale in cui $G$ è ciclico.
Per Silow so che esiste almeno un $2$-sottogruppo.
sono giunto al fatto che non possono esserci un unico $2$-silow e un unico $3$-silow (arrivo ad una contraddizione)
Facendo i conti $n_{2}=1,3$ e $n_{3}=1,4$
Ho notato un caso particolare scegliendo $n_2=1$ e quindi quest'unico $2$-silow isomorfo a $\mathbb{Z}_4$ e $n_3=4$, perché avrei in totale $8$ elementi di ordine $3$, e i restanti $3$ elementi con l'elemento neutro formano l'unico $2$-silow, che ha un unico elemento di ordine $2$, ed è chiaro che un sottogruppo unico nel suo ordine è normale.
Andando avanti però non riesco a trarre delle conclusioni, ad esempio nel caso in cui quell'unico $2$-silow di cui sopra fosse isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.
Sia $G$ un gruppo finito di ordine $12$, dimostrare che esiste un $2$-sottogruppo normale non banale.
Adesso, eliminiamo il caso banale in cui $G$ è ciclico.
Per Silow so che esiste almeno un $2$-sottogruppo.
sono giunto al fatto che non possono esserci un unico $2$-silow e un unico $3$-silow (arrivo ad una contraddizione)
Facendo i conti $n_{2}=1,3$ e $n_{3}=1,4$
Ho notato un caso particolare scegliendo $n_2=1$ e quindi quest'unico $2$-silow isomorfo a $\mathbb{Z}_4$ e $n_3=4$, perché avrei in totale $8$ elementi di ordine $3$, e i restanti $3$ elementi con l'elemento neutro formano l'unico $2$-silow, che ha un unico elemento di ordine $2$, ed è chiaro che un sottogruppo unico nel suo ordine è normale.
Andando avanti però non riesco a trarre delle conclusioni, ad esempio nel caso in cui quell'unico $2$-silow di cui sopra fosse isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.
Risposte
Attento $n_3=1,2$ o $4$
perché? Il secondo teorema di silow mi dice che $ n_3\equiv 1 mod 3$ e $n_3|4$, da cui $n_3=1,4$, cosa mi sfugge?
Chiaro che se c'è un solo $2$-Sylow hai finito (è normale), quindi puoi supporre che ce ne siano tre. Se sai cos'è un'azione di gruppo, considera l'azione di coniugio di $G$ sui suoi tre $2$-Sylow ed esamina il nucleo. Detto $N$ tale nucleo, $G//N$ risulta isomorfo a un sottogruppo di $S_3$, quindi...
Wow, forse ho capito tutto: allora tu dici di considerare il gruppo delle permutazioni di 3 elementi come $S_3=\{(H_1,H_2,H_3),(H_1,H_3,H_2),...,(H_3,H_2,H_1)\}$ dove gli $H_j$ sono i tre $2$-silow e considerare ancora l'omomorfismo $f:G\to S_3$ definito da $g\to (gH_1g^{-1},gH_2g^{-1},gH_3g^{-1})$(ho verificato che sia anche ben definito, in quanto se $gH_ig^{-1}=gH_jg^{-1}$, segue che $H_i\subseteq H_j$ e dato che sono di ordine uguale ne deriva l'uguaglianza).
Poi si ha che $G/{\ker(f)}\cong C$ dove $C$ è un sottogruppo di $S_3$, e dato che $C\cong S_3,\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_2$, segue che $ker(f)$ ha ordine rispettivamente $2,4,6$; nei primi due casi concludo, mentre nel secondo osservo che $Im(f)$ è una trasposizione e quindi lascia fisso un elemento, ergo quell'elemento che è un $2$-silow è normale in $G$.
Giusto?
Poi si ha che $G/{\ker(f)}\cong C$ dove $C$ è un sottogruppo di $S_3$, e dato che $C\cong S_3,\mathbb{Z}_3,\mathbb{Z}_2$, segue che $ker(f)$ ha ordine rispettivamente $2,4,6$; nei primi due casi concludo, mentre nel secondo osservo che $Im(f)$ è una trasposizione e quindi lascia fisso un elemento, ergo quell'elemento che è un $2$-silow è normale in $G$.
Giusto?
Sì è giusto, io avrei osservato che Im(f) è transitivo (per i teoremi di Sylow) quindi ha ordine 3 o 6 quindi ker(f) ha ordine 4 o 2.
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