Esibire un isomorfismo
ho questo esercizio da risolvere:
esibire un isomorfismo tra $ZZ_12$ e $ZZ_4 xx ZZ_3$
io sono giunta alla conclusione che questo isomorfismo dipende dal teorema cinese del resto
però come faccio ad esibirlo in modo formale?
grazie mille
esibire un isomorfismo tra $ZZ_12$ e $ZZ_4 xx ZZ_3$
io sono giunta alla conclusione che questo isomorfismo dipende dal teorema cinese del resto
però come faccio ad esibirlo in modo formale?
grazie mille
Risposte
Vedi http://www.matematicamente.it/forum/post572917.html è lo stesso esercizio ma considera il caso generale di un'applicazione fra $ Z_{mn} $ e $ Z_m xx Z_n $ . Ottieni quello che ti serve semplicemente notando che 3 e 4 sono coprimi.
Ciao
Ciao
scusa ma nell'esercizio che mi hai detto dimostra solo la biiettività però per dimostrare che è un isomorfismo devo dimostrare anche che $f$ e $f^-1$ sono omomorfismi
Facile
\(\displaystyle f( [x]_{mn}+[y]_{mn} ) = f([x+y]_{mn}) = ([x+y]_m, [x+y]_n) = ([x]_m,[x]_n)+([y]_m,[y]_n)= f([x]_{mn}) + f([y]_{mn} ) \)
Non cè bisogno di mostrare che $ f^{-1} $ è un omomorfismo, è ovvio
\(\displaystyle f( [x]_{mn}+[y]_{mn} ) = f([x+y]_{mn}) = ([x+y]_m, [x+y]_n) = ([x]_m,[x]_n)+([y]_m,[y]_n)= f([x]_{mn}) + f([y]_{mn} ) \)
Non cè bisogno di mostrare che $ f^{-1} $ è un omomorfismo, è ovvio
Esiste un notissimo risultato di validità piuttosto generale: se \(f\) è un morfismo bigettivo, allora anche \(f^{-1}\) è un morfismo.
grazie mille a tutti per le risposte
ma quando si presenta un esercizio come questo cosa devo fare?
perchè mi avete spiegato come fare a dimostrare dato una funzione che quella è un isomorfismo ma in questo caso devo trovare io la funzione!
ma quando si presenta un esercizio come questo cosa devo fare?
perchè mi avete spiegato come fare a dimostrare dato una funzione che quella è un isomorfismo ma in questo caso devo trovare io la funzione!
Provi a smanettare un po' con le funzioni. Comunque in questo caso l'applicazione la conosciamo già dal teorema cinese dei resti:
\[(x+12\mathbb{Z})\longmapsto (x+4\mathbb{Z}, x+3\mathbb{Z})\]
\[(x+12\mathbb{Z})\longmapsto (x+4\mathbb{Z}, x+3\mathbb{Z})\]
quindi in questo caso come risposta mi basta scrivere che essendo i numeri coprimi tra loro l'isomorfismo è quello del teorema cinese del resto e non mi serve dimostrare che è un isomorfismo?
Certamente, il teorema cinese dei resti serve proprio a quello: ad evitarti la dimostrazione tutte le volte.
ok perfetto
grazie mille
grazie mille
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