Esericizio su omomorfismi di anelli
Sia $A:=ZZ // (1+i)$ e $K$ un campo.
$a)$ Esiste un sottoanello di $K$ isomorfo ad $A$?
$b)$ Esiste un campo $K$ per cui è possibile definire un omomorfismo di anelli $\sigma : A -> K$?
$c)$ Esiste un campo $K$ per cui è possibile definire un omomorfismo di anelli $\psi : K -> A$?
$A$ è un campo di caratteristica 2 e $\sigma$ e $\psi$ se esistono sono iniettivi perchè hanno come dominio un campo.
A parte queste considerazioni non so come muovermi.
$a)$ Esiste un sottoanello di $K$ isomorfo ad $A$?
$b)$ Esiste un campo $K$ per cui è possibile definire un omomorfismo di anelli $\sigma : A -> K$?
$c)$ Esiste un campo $K$ per cui è possibile definire un omomorfismo di anelli $\psi : K -> A$?
$A$ è un campo di caratteristica 2 e $\sigma$ e $\psi$ se esistono sono iniettivi perchè hanno come dominio un campo.
A parte queste considerazioni non so come muovermi.
Risposte
come mai $A$ è un campo?
immagino che tu intenda $ZZ$ /$ (1+i)$
Si NightKnight, grazie per averlo detto, ora ho corretto.
$A$ è un campo perchè $ZZ$ è un dominio euclideo e pertanto i suoi ideali massimali sono quelli generati da polinomi irriducibili: $1+i$ lo è perchè la sua norma è un numero primo.
$A$ è un campo perchè $ZZ$ è un dominio euclideo e pertanto i suoi ideali massimali sono quelli generati da polinomi irriducibili: $1+i$ lo è perchè la sua norma è un numero primo.
Allora, premesso ciò che ha detto GreenLink, osserviamo che $A=ZZ$/$(1+i)$ è isomorfo a $mathbb(F)_2$; questo si può vedere in diversi modi, due dei quali sono:
1) Ricordando che $forall z in ZZ - {0}, \ |ZZ $/$(z)| \ = |z|^2$ si ha che $A$ è un campo con $|1+i|^2 = 2$ elementi.
2) Consideriamo la mappa: $v: ZZ -> F_2 \ , \ a+bi |-> (a+b) mod 2$. Allora si verifica che $v$ è un omomorfismo di anelli surgettivo e di nucleo $(1+i)$; allora la tesi segue dal teorema di omomorfismo. (Determinare il nucleo di $v$ non è banalissimo, quindi prova per esercizio a farlo!)
Ora veniamo alle tue domande:
a) esiste un sottoanello di K isomorfo ad A se e solo se K ha caratteristica 2
b), c) esiste un campo K per cui esistono omomorfismi di anelli $A->K$, $K->A$: basta prendere K=A e l'identità di A.
1) Ricordando che $forall z in ZZ - {0}, \ |ZZ $/$(z)| \ = |z|^2$ si ha che $A$ è un campo con $|1+i|^2 = 2$ elementi.
2) Consideriamo la mappa: $v: ZZ -> F_2 \ , \ a+bi |-> (a+b) mod 2$. Allora si verifica che $v$ è un omomorfismo di anelli surgettivo e di nucleo $(1+i)$; allora la tesi segue dal teorema di omomorfismo. (Determinare il nucleo di $v$ non è banalissimo, quindi prova per esercizio a farlo!)
Ora veniamo alle tue domande:
a) esiste un sottoanello di K isomorfo ad A se e solo se K ha caratteristica 2
b), c) esiste un campo K per cui esistono omomorfismi di anelli $A->K$, $K->A$: basta prendere K=A e l'identità di A.
NightKnight non capisco come fai a determinare l'ordine di quel gruppo quoziente. E' un risultato che non ho visto nella teoria e che non mi suona intuitivo.
Per quanto riguarda poi il b) e il c) quindi credi che per l'esercizio la difficoltà maggiore fosse di determinare che $A$ è un campo? In altre parole, è vero che non è necessario sforzarsi di trovare un campo $K$ diverso da $A$ che soddisfi le richieste?
Perdona la banalità delle mie domande!!!
Per quanto riguarda poi il b) e il c) quindi credi che per l'esercizio la difficoltà maggiore fosse di determinare che $A$ è un campo? In altre parole, è vero che non è necessario sforzarsi di trovare un campo $K$ diverso da $A$ che soddisfi le richieste?
Perdona la banalità delle mie domande!!!
Per dimostrare che $A$ è isomorfo a $F_2$ puoi usare 2) ed evitare 1).
Comunque il risultato che ho usato per determinare l'ordine dell'anello quoziente è un lemmettino che si dimostra grazie al teorema di Pick e che considera come insieme di rappresentanti delle classi laterali dell'ideale (z) i punti del piano complesso a coordinate intere che stanno nel quadrato di vertici 0, z, iz, (1+i)z (escludendo 2 lati e 3 vertici). Non l'ho trovato su nessun libro; l'ho dimostrato da solo, ma spesso è utile.
A mio avviso l'esercizio, così come postato da te, è risolto. Ma se proprio vuoi usare un campo K diverso da A, allora:
b) basta scegliere come K un campo che contiene un'immagine isomorfa $F_2$, quindi possiamo prendere una chiusura algebrica di $F_2$, o un campo di $2^n$ elementi o equivalentemente $F_2[X] // (f(X))$ dove $f(X) in F_2[X]$ è un polinomio irriducibile, oppure più in generale un campo a caratteristica 2.
c) in questo caso non si può, perché $F_2$ non ha sottocampi propri.
NB: si è usato che:
i) nella definizione di campo 0 sia diverso da 1, perché altrimenti ${0}$ è un sottocampo di $F_2$; ma questa in realtà è un'inezia perché è regola generale supporre in ogni anello commutativo con identità 0 diverso da 1.
ii) un omomorfismo di anelli commutativi con identità per definizione manda 1 in 1; questo non sempre viene richiesto per definizione, e quindi senza questa condizione nella definizione, l'applicazione costante nulla è un omomorfismo di anelli per ogni coppia di anelli, e quindi K poteva essere un campo qualsiasi.
Comunque il risultato che ho usato per determinare l'ordine dell'anello quoziente è un lemmettino che si dimostra grazie al teorema di Pick e che considera come insieme di rappresentanti delle classi laterali dell'ideale (z) i punti del piano complesso a coordinate intere che stanno nel quadrato di vertici 0, z, iz, (1+i)z (escludendo 2 lati e 3 vertici). Non l'ho trovato su nessun libro; l'ho dimostrato da solo, ma spesso è utile.
A mio avviso l'esercizio, così come postato da te, è risolto. Ma se proprio vuoi usare un campo K diverso da A, allora:
b) basta scegliere come K un campo che contiene un'immagine isomorfa $F_2$, quindi possiamo prendere una chiusura algebrica di $F_2$, o un campo di $2^n$ elementi o equivalentemente $F_2[X] // (f(X))$ dove $f(X) in F_2[X]$ è un polinomio irriducibile, oppure più in generale un campo a caratteristica 2.
c) in questo caso non si può, perché $F_2$ non ha sottocampi propri.
NB: si è usato che:
i) nella definizione di campo 0 sia diverso da 1, perché altrimenti ${0}$ è un sottocampo di $F_2$; ma questa in realtà è un'inezia perché è regola generale supporre in ogni anello commutativo con identità 0 diverso da 1.
ii) un omomorfismo di anelli commutativi con identità per definizione manda 1 in 1; questo non sempre viene richiesto per definizione, e quindi senza questa condizione nella definizione, l'applicazione costante nulla è un omomorfismo di anelli per ogni coppia di anelli, e quindi K poteva essere un campo qualsiasi.
Ok. Ho un ultimo dubbio.
Dato un intero gaussiano $z$ è vero che gli elementi di $ZZ //(z)$ si rappresentano con gli interi gaussiani di norma minore o uguale a quella di $z$?
Dato un intero gaussiano $z$ è vero che gli elementi di $ZZ //(z)$ si rappresentano con gli interi gaussiani di norma minore o uguale a quella di $z$?
In un certo senso sì: ovvero per la divisione euclidea in $ZZ$ hai che $forall w in ZZ, \ exists u in ZZ \ : \ w-u in (z) \ and |u|^2 < |z|^2$; solo che tale $u$ non è unico. Per avere l'unicità ti devi restringere per esempio a cercare tale $u$ tra i punti del piano complesso a coordinate intere che stanno nel quadrato di vertici 0,z,iz,(1+i)z escluso 3 vertici e 2 lati. E con il teorema di Pick, hai il risultato che ho usato io.
Grazie mille. Speriamo bene per Algebra 2!
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