Esericizio su anello Z/7xZ/7

[lucia88]

Ciao
il prof ci ha assegnato l'anello $A=Z_7 x Z_7$ con le operazioni:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$
$(a,b)(c,d)=(ac+5bd,ad+bc)$
che è commutativo

Devo stabilire se l'anello è unitario e se l'equazione $x^2-5y^2=0$ ammette soluzioni x,y in $Z_7 -{0}$

Praticamente non riesco a risolverlo, come si fa?

[fede_mat11]

A me viene che l'anello è unitario con unità uguale a (1,0) infatti:
$(a,b)(1,0)$=$(a,b)$ e analogamente $(1,0)(c,d)=(c,d)$
per quanto riguarda l'equazione $\bb{x}^2-5\bb{y}^2=0$ mi viene che non ammette soluzioni. Infatti:
devi porre la condizione $\bb{x}^2=5\bb{y}^2$ a questo punto ti studi i quadrati dei valori appartenenti a $ Z_7 -{0} $:
$1^2=1$;
$2^2=4$;
$3^2=2$;
$4^2=2$;
$5^2=4$;
$6^2=1 $
quindi $\bb{x}^2$ può assumere 3 valori: o $1$ o $2$ o $4$.
ti basta quindi ora verificare che le seguenti equazioni congruenziali (in modulo 7) non ammettono soluzione:
$5\bb{y}^2=1$ $\Leftrightarrow$ $\bb{y}^2=3$ impossibile
$ 5\bb{y}^2=2$ $\Leftrightarrow$ $\bb{y}^2=6$ impossibile
$5\bb{y}^2=4$ $\Leftrightarrow$ $\bb{y}^2=5$ impossibile
Se non capisci qualche passaggio dimmi che provo a rispiegartelo meglio