Esercizo anello di polinomi
Salve a tutti, ho problemi con il seguente esercizio
Si consideri l’anello di polinomi nell’indeterminata x a coefficienti in $Z_7$ :
( 1 ) Sia $f(x) = x^4 - x^2 + 1 in Z_7[x]$ . Si dica se l'anello $A = (Z_7[x])/((f))$ è o meno un campo
( 2 ) Quanti sono i polinomi di terzo grado di $Z_7[x]$ che ammettono tre radici
distinte in $Z_7$?
Allora per il primo esercizio visto che $Z_7$ è un campo e $f(x)$ non possiede radici allora $A = (Z_7[x])/((f))$ è campo.
Per il secondo non so proprio come procedere.
L'unica cosa a cui avevo pensato e che secondo il seguente teorema :
"Sia $K$ un campo e $f(x)$ un polinomio non nullo in $K[x]$ di grado $n$. Allora $f(x)$ ammette al più $n$ radici."
in questo esercizio i polinomi di terzo grado ammettono al più 3 radici, però non credo che mi servi molto sapere questa cosa visto che io voglio i polinomi di terzo grado che hanno 3 radici distinte.
Grazie
Si consideri l’anello di polinomi nell’indeterminata x a coefficienti in $Z_7$ :
( 1 ) Sia $f(x) = x^4 - x^2 + 1 in Z_7[x]$ . Si dica se l'anello $A = (Z_7[x])/((f))$ è o meno un campo
( 2 ) Quanti sono i polinomi di terzo grado di $Z_7[x]$ che ammettono tre radici
distinte in $Z_7$?
Allora per il primo esercizio visto che $Z_7$ è un campo e $f(x)$ non possiede radici allora $A = (Z_7[x])/((f))$ è campo.
Per il secondo non so proprio come procedere.
L'unica cosa a cui avevo pensato e che secondo il seguente teorema :
"Sia $K$ un campo e $f(x)$ un polinomio non nullo in $K[x]$ di grado $n$. Allora $f(x)$ ammette al più $n$ radici."
in questo esercizio i polinomi di terzo grado ammettono al più 3 radici, però non credo che mi servi molto sapere questa cosa visto che io voglio i polinomi di terzo grado che hanno 3 radici distinte.
Grazie
Risposte
"Thurazastra":
[...] Allora per il primo esercizio visto che $Z_7$ è un campo e $f(x)$ non possiede radici allora $A = (Z_7[x])/((f))$ è campo. [...]
Falso: sei sicuro che quel polinomio sia irriducibile su \(\mathbb{Z}_7\)? E' di quarto grado, e potrebbesi spezzare nel prodotto di due polinomi irriducibili di secondo grado.
"Thurazastra":
[...] ( 2 ) Quanti sono i polinomi di terzo grado di $Z_7[x]$ che ammettono tre radici
distinte in $Z_7$? [...]
Questi polinomi saranno del tipo \((X-a)(X-b)(X-c) \in \mathbb{Z}_7[X] \) ove \(a, b, c \in \mathbb{Z}_7\) e \(a \ne b \ne c \), quindi...
Per il 2, se non sto prendendo qualche abbaglio, mi sa che bisogna poi tenere conto anche del fatto che il testo non dice monico. In altri termini, i polinomio saranno del tipo
\[
d(X-a)(X-b)(X-c)
\]
al variare di $a\ne b \ne c $ in $ZZ_7$ e $d\in ZZ_7 \setminus\{0\}$. O no?
\[
d(X-a)(X-b)(X-c)
\]
al variare di $a\ne b \ne c $ in $ZZ_7$ e $d\in ZZ_7 \setminus\{0\}$. O no?
@Paolo: direi proprio di sì... mi era sfuggito 
Il primo punto chiede se è un campo, quindi bisognerebbe scomporre il polinomio in un prodotto di due polinomi di grado 1 e 3 oppure 2 e 2 (per esempio con un ruffini). Se entrambi i polinomi non hanno radici => l'anello è un campo, altrimenti non lo è. Corretto?
Il secondo punto chiede il numero di polinomi di terzo grado, questi sono 7 * 7 * 6 * 5 = 1470 , stando a quanto avete scritto?
Il secondo punto chiede il numero di polinomi di terzo grado, questi sono 7 * 7 * 6 * 5 = 1470 , stando a quanto avete scritto?
Per il secondo punto, secondo me c'è un 7 di troppo. $a$ varia in 7 modi, $b$ in 6 modi, $c$ in 5; infine d varia solo in 6 modi perché non può essere 0. Dunque il numero cercato è $7*6*5*6$.
Grazie delle risposte.
Mi sono andato a rivedere un po' di teoria e in effetti non posso dire a priori che è irriducibile visto che è di grado 4 cmq sono riuscito a trovare questa scomposizione
Visto che $x^4 - x^2 +1 in Z_7[x]$ allora $ x^4 - x^2 +1= x^4 +6x^2 +1$
$(x^2 + 4)(x^2 + 2) = x^4 + 6x + 8 = x^4 + 6x + 1$
E' giusto come ragionamento??
Per non aprire un altro topic vorrei chiedervi delle delucidazioni su questo esercizio sui grafi :
$1)$ Esiste un grafo connesso con 20 vertici e 18 archi?
Pensavo di ragionare sulla formula ( $|E|$ indico i numeri di archi del grafo)
$ |E|=1/2*sumd(v) $
Sapendo allora che $18 = 1/2 * x$ allora $x= 18*2 = 36$ la somma dei gradi del grafo deve essere 36, però non so bene cosa farne di questo numero ( molto probabilmente non devo nemmeno ragionare su questo formula).
Chiedo un vostro piccolo aiuto visto che non so proprio come procedere.
Grazie
Mi sono andato a rivedere un po' di teoria e in effetti non posso dire a priori che è irriducibile visto che è di grado 4 cmq sono riuscito a trovare questa scomposizione
Visto che $x^4 - x^2 +1 in Z_7[x]$ allora $ x^4 - x^2 +1= x^4 +6x^2 +1$
$(x^2 + 4)(x^2 + 2) = x^4 + 6x + 8 = x^4 + 6x + 1$
E' giusto come ragionamento??
Per non aprire un altro topic vorrei chiedervi delle delucidazioni su questo esercizio sui grafi :
$1)$ Esiste un grafo connesso con 20 vertici e 18 archi?
Pensavo di ragionare sulla formula ( $|E|$ indico i numeri di archi del grafo)
$ |E|=1/2*sumd(v) $
Sapendo allora che $18 = 1/2 * x$ allora $x= 18*2 = 36$ la somma dei gradi del grafo deve essere 36, però non so bene cosa farne di questo numero ( molto probabilmente non devo nemmeno ragionare su questo formula).
Chiedo un vostro piccolo aiuto visto che non so proprio come procedere.
Grazie
scusate ma essendo l'anello dei polinomi un anello commutativo non dovrei fare le combinazioni invece delle disposizioni ?
cioè invece di fare \(\displaystyle 7*6*5*6\) (ovvero disposizioni di 7 elementi in 3 slot moltiplicati per il coefficiente direttore) fare \(\displaystyle \binom{7}{3}*6=210\) ?
cioè invece di fare \(\displaystyle 7*6*5*6\) (ovvero disposizioni di 7 elementi in 3 slot moltiplicati per il coefficiente direttore) fare \(\displaystyle \binom{7}{3}*6=210\) ?
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