Esercizio Teoria dei Gruppi
Ciao a tutti,
Ho un problema con queto eercizio di teoria dei gruppi.
Per ogni intero a definiamo un gruppo Abeliano Ga dato dalla presentazione:
\(\displaystyle Ga = < x , y | (-2a^2 -a )x + (2a^2 +2a )y = (-a^2-a)x + (a^2 + a)y= 0> \)
Dire per quali a è ciclico!
Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto!
Ho un problema con queto eercizio di teoria dei gruppi.
Per ogni intero a definiamo un gruppo Abeliano Ga dato dalla presentazione:
\(\displaystyle Ga = < x , y | (-2a^2 -a )x + (2a^2 +2a )y = (-a^2-a)x + (a^2 + a)y= 0> \)
Dire per quali a è ciclico!
Ringrazio tutti in anticipo per l'aiuto!
Risposte
nessuno riesce a darmi una mano 
Il gruppo additivo $G_a$ e' ciclico se e solo se $a=\pm 1$.
Dim. Identificando $x$ con $(1,0)$ e $y$ con $(0,1)$, il gruppo $G_a$ e'
isomorfo al gruppo libero $\Z\times\Z$ modulo il sottogruppo $H$ generato
dai vettori $(-2a^2-a,2a^2+2a)$ e $(-a^2-a,a^2+a)$. E' facile vedere che
$H$ e' anche generato da $(a,0)$ e $(0,a^2+a)$. Questo implica che
$G_a$ e' isomorfo a $\Z$/$a\Z\times \Z$/$(a^2+a)\Z$.
Se $a$ e' divisibile per qualche primo $p$, allora $G_a$ ammette una
suriezione $G_a\rightarrow \Z$/$p\Z\times \Z$/$p\Z$ e quindi non e' ciclico.
Invece, se $a=\pm 1$, il gruppo $G_a$ e' isomorfo a $\Z$/$(a^2+a)\Z$.
Dim. Identificando $x$ con $(1,0)$ e $y$ con $(0,1)$, il gruppo $G_a$ e'
isomorfo al gruppo libero $\Z\times\Z$ modulo il sottogruppo $H$ generato
dai vettori $(-2a^2-a,2a^2+2a)$ e $(-a^2-a,a^2+a)$. E' facile vedere che
$H$ e' anche generato da $(a,0)$ e $(0,a^2+a)$. Questo implica che
$G_a$ e' isomorfo a $\Z$/$a\Z\times \Z$/$(a^2+a)\Z$.
Se $a$ e' divisibile per qualche primo $p$, allora $G_a$ ammette una
suriezione $G_a\rightarrow \Z$/$p\Z\times \Z$/$p\Z$ e quindi non e' ciclico.
Invece, se $a=\pm 1$, il gruppo $G_a$ e' isomorfo a $\Z$/$(a^2+a)\Z$.
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