Esercizio teoria dei gruppi

[Lorin1]

Sia G un gruppo e $x in G$ un elemento di ordine 2 . Provare che il sottogruppo generato da $x$ è normale se e solo se $x$ sta nel centro $Z(G)$ di G.

Dim:
$(=>)$
Hp: $$ normale in $G$ (qual è il codice per dire "normale"?)
Th: $x in Z(G)$

io so che $o(x)=2=o()$ quindi $$ è abeliano e quindi ogni elemento di G commuta con un elemento del sottogruppo $$, ma se commuta con ogni elemento allora significa che $x in Z(G)$ in quanto $Z(G)={h: gh=hg AAg in G}$.

(la sufficiente la scrivo una volta fissata per bene la necessaria)

[deserto1]

Non mi sembra tanto corretto il tuo ragionamento, ossia $$ abeliano non significa che ogni suo elemento, e quindi anche $x$, commuti con ogni elemento di $G$.

[mistake89]

io ragionerei sulle classi di coniugazione per dimostrare $->$
Pensa a questo: se un gruppo ha ordine due allora è formato da ${id,x}$, quindi le classi di coniugazione sono...

[vict85]

$X=< x>$ è normale se $gXg^{-1}=X$. Quindi $gxg^{-1}$ è $1$ o $x$.

Se $gxg^{-1}=1$ allora, per unicità inverso, $gx=g$ e quindi $x=1$ e quindi l'assurdo.

Se $gxg^{-1}=x$ allora $gx = xg$ e quindi $x$ commuta con $g$. Siccome deve valere per ogni $g$ allora $x \in Z(G)$.

L'implicazione inversa è banale.

[Lorin1]

Ieri sera proprio avevo pensato a questa cosa e la stavo scrivendo...grazie per la dritta...