Esercizio teoria dei gruppi

[drum89]

Ciao a tutti avrei bisogno di una mano nella risoluzione di tre esercizi di algebra sulla teoria dei gruppi. Ecco i testi:

1)Si mostri che se p è il più piccolo primo che divide l'ordine di un gruppo G e se H è un sottogruppo di indice p in G, allora H è normale in G. Se ne deduca che se l'ordine di un gruppo G è p^n, con n > 1, allora G non è semplice.

2)Sia G un gruppo nito e H un suo sottogruppo. Detto NG(H) il normalizzante di H in G, dimostrare che il numero dei coniugati di H coincide con l'indice di NG(H) in G. Dedurre che se |G| = 99 e [G : H] = 3, allora H è necessariamente un sottogruppo normale di G.

3)Descrivere, a meno di isomorsmi, tutti i possibili gruppi abeliani di ordine 40, e per ciascuno di essi calcolare quanti elementi di ordine 8 contiene.

Grazie in anticipo a chiunque risponderà!

[drum89]

nessuno può aiutarmi?

[vict85]

[xdom="vict85"]Il regolamento prevede un tentativo da parte tua o almeno qualche dimostrazione del fatto che ci hai ragionato su.[/xdom]

Riguardo ai tuoi problemi ci devo ragionare un attimo.

Riguardo al (3) hai visto i teoremi di Sylow?

[drum89]

il terzo è l'unico che sono riuscito a fare ma non sono sicuro sia corretto. Praticamente dato che l'ordine che ci interessa è 40=2*2*2*5, i possibili gruppi abeliani di tale ordine sono:

-Z2xZ2xZ2xZ5
-Z4xZ2xZ5
-Z8xZ5

nei primi due gruppi non vi è alcun elemento di ordine 8, mentre nel terzo gruppo ce ne dovrebbero essere 4, ossia (1,0), (3,0),(5,0) e (7,0).
Che dite? ho fatto in modo corretto oppure ho commesso qualche errore?

[drum89]

Per quanto riguarda il primo invece avevo fatto un tentativo supponendo per assurdo che vi siano più di un p-sylow H ma non sono arrivato da nessuna parte. l'idea era praticamente sfruttare il teorema di sylow e in particolare il fatto che se esiste un unico p-sylow H in G allora esso è normale.

[vict85]

Il terzo mi sembra corretto, avevo chiesto sylow perché non avevo visto che chiedeva i gruppi abeliani.

Il primo invece non si risolve usando sylow. Anche perché quello non è un p-Sylow ma un sottogruppo di indice p. Per capirci è una sorta di generalizzazione del caso del sottogruppo alternante. Questo esercizio si risolve sfruttando il fatto che \(G\) agisce su \(G/H\) (visto come insieme) per moltiplicazione a sinistra e quindi esiste un'immersione \(G\to S_p\). Il kernel di questa immersione, nel caso considerato, è \(H\). Per vederlo sfrutti il fatto che se \(K\) è il kernel, allora l'indice \([G] = \lvert fG \rvert \) e che quindi divide \(p!\). I passi finali li lascio a te.

Il secondo dovrebbe risolversi anche lui considerando questo tipo di cose.