Esercizio teorema cinese del resto

[geme2]

esercizio con teorema cinese del resto


$ { 3x -=4 (mod 14) , x -= 13 (mod 21) :} $ (scusate la scrittura ma non me li mette in verticale

io ho fatto cosi:

$ { x -=6 (mod 14) , x -= 13 (mod 21) :} $

$ X0 -= 6+14K(mod 14) $
$ 6+14K -=3 (mod 21) $
$ 14K -=-3 (mod 21) $
$ (3)*14K -=-3*(3) (mod 21) $
$ K -=-9 (mod 21) $
$ S{...-27,-18,-9,0...} $
Sostituisco 0 come soluzione
$ X0=6+14*(k) => X0= 6+14*(0) => X0=6$

calcolo mcm tra i due moduli cioè tra 14 21 che è 42

e quindi
$ s{6+42ZZ } $


è giusto o c'è qualcosa di errato?grazie

[blackbishop13]

$ { (x -=6\ mod14) , (x -= 13\ mod 21):} $

il metodo migliore è prima "spezzare" ogni congruenza visto che $MCD(21,14)=7$ e siccome $14=7*2$ e $21=7*3$
in modo da avere, sempre per il TCR
$ { (x -=6\ mod2) , (x-=6\ mod7), (x -= 13\ mod 3),(x-=13\ mod7):} $

da cui vediamo che è risolubile perchè modulo $7$ deve fare $6$ in entrambi i casi, e per TCR esiste la soluzione, unica modulo $42$
$ { (x -=0\ mod2) , (x-=6\ mod7), (x -= 1\ mod 3):} $

la soluzione è $x-=34\ mod42$

il risultato è sbagliato, il metodo non lo capisco.

[geme2]

ciao, scusa ma non capisco cosa hai fatto dopo che hai spezzato.

[blackbishop13]

$x-=6\ mod14$ è equivalente a ${(x-=6\ mod2),(x-=6\ mod7):}$

quindi sostituisco a quell'equazione le due equivalenti (stessa cosa per l'altra congruenza).

poi svolgo due conti tipo $6-=2\ mod2$ vedo che nel sistema compare due volte la stessa equazione, ne rimangono tre, e risolvo il sistema.