Esercizio sulle relazioni di equivalenza:capendo perché la risoluzione(che ho posto) è sbagliata
Salve,seguendo il consiglio datomi ieri,oggi ho ricominciato nuovamente,migliorando il metodo di studio a studiare la teoria degli insiemi più precisamente le relazioni di equivalenza.La cosa che vi vorrei chiedere era un aiuto a capire dove un ragionamento,che ho fatto per risolvere un problema,fallisce.Il problema mi fu posto,gentilmente, da un utente del forum(di cui non farò nome a meno che non lo voglia lui)comunque l'esercizio era questo:
La soluzione dell'esercizio data dall'utente mostra che la relazione è equivalente,però il mio ragionamento dimostra il contrario(anche se il suo mi sembra più corretto).Vi espongo come ho fatto a risolvere questo problema.
Per esprimere il fatto che a e b siano circonferenze concentriche ho fatto così:
\( a=x^2+y^2 \) e \( b=(xn)^2+(yn)^2 \) dove $x,y,n in RR$.
Ora riscrivo la relazione così:
\( a \psi b \longleftrightarrow a=n^2b \)
che come si può subito constatare non è né simmetrica né transitiva.
Sia $C$ l'insieme di tutte e sole le circonferenze di una dato piano. Consideriamo la relazione $\psi \subseteq C \times C$ definita come
$ a \psi b \Leftrightarrow a \text{ e } b \text{ sono concentriche}$.
Si può scrivere anche $(a,b) \in \psi$ al posto di $a \psi b$.
Studiare la relazione e dire se è di equivalenza o meno. (Scrivere tutte le argomentazioni!)
La soluzione dell'esercizio data dall'utente mostra che la relazione è equivalente,però il mio ragionamento dimostra il contrario(anche se il suo mi sembra più corretto).Vi espongo come ho fatto a risolvere questo problema.
Per esprimere il fatto che a e b siano circonferenze concentriche ho fatto così:
\( a=x^2+y^2 \) e \( b=(xn)^2+(yn)^2 \) dove $x,y,n in RR$.
Ora riscrivo la relazione così:
\( a \psi b \longleftrightarrow a=n^2b \)
che come si può subito constatare non è né simmetrica né transitiva.
Risposte
L'equazione della circonferenza è \((x-a)^2 + (x-b)^2 = r^2\) e due circonferenze sono concentriche se hanno gli stessi \(a\) e \(b\).
L'equazione la conoscevo solo che nel caso di sopra ho posto $a=b=0$ e il termine $n$ per indicare,che sono concentriche ma che possono avere raggio diverso,che sia stato proprio questo l'errore?
Secondo me hai sbagliato ad impostare il problema, se hai due circonferenze generiche, ne puoi scrivere le equazioni, che saranno $(x-a_1)^2+(y-b_1)^2=r_1^2$ e $(x-a_2)^2+(y-b_2)^2=r_2^2$, a questo punto ti accorgi che dire che sono in relazione equivale dal punto di vista delle equazioni, alla condizione $a_1=a_2$ e $b_1=b_2$.
Quindi nel tuo caso, se proprio vuoi considerare solo quelle centrate nell'origine (anche se non si capisce bene perchè), devi scrivere semmai $a=x^2+y^2$ e $an=x^2+y^2, a,n\inRR$.
Quindi nel tuo caso, se proprio vuoi considerare solo quelle centrate nell'origine (anche se non si capisce bene perchè), devi scrivere semmai $a=x^2+y^2$ e $an=x^2+y^2, a,n\inRR$.
quindi non avrei dovuto mettere nessuno coefficiente?
p.s:parto da quelle centrate nell'origine,perché è il caso più facile da gestire.
p.s:parto da quelle centrate nell'origine,perché è il caso più facile da gestire.
Il coefficiente non è necessario, ma se proprio lo vuoi mettere lo devi mettere nel modo giusto, come ti ho fatto vedere io (ovvero a moltiplicare a).
parto da quelle centrate nell'origine, perché è il caso più facile da gestire.Il problema è che se consideri solo quelle centrate nell'origine, la questione è poco interessante perché sono banalmente in relazione, semmai potresti prenderne una nell'origine e una no, comunque fai come ti pare.
lo so che è banale ma se ho dei problemi quando sono entrambi nell'origine,allora negli altri casi non ci capirò niente.
Faccio umilmente notare che fai benissimo a studiare le relazioni di equivalenza perché ti assicuro che finché non capirai bene le relazioni di equivalenza non ti sarà possibile capire nessun concetto di algebra, geometria, topologia o analisi.
almeno so che sto studiando qualcosa che mi aiuterà con tutti e quattro i rami della matematica che voglio studiare.
grazie per le risposte.
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