Esercizio sulle permutazioni
Buonasera a tutti!
Ho il seguente esercizio:
Nel gruppo simmetrico $S_9$ si consideri la permutazione: $alpha=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(7,6,5,8,9,4,3,2,1)) $.
1) Trovare l'ordine di $alpha$;
2) Trovare $alpha^(-1)$;
3) Si dica quanti sono i sottogruppi di $$ e per ciascuno di essi si individui un generatore;
4) Qual è il sottogruppo di $$ che coincide con $nnA_9$? [Con $A_9$ si denota il sottogruppo alterno].
Ho risolto i primi due punti ma non so cosa fare nei punti 3) e 4).
1) Dato che risulta: $alpha=(1,7,3,5,9)(2,6,4,8)$, ne segue che $o(alpha)=20$.
2) Risulta: $alpha^(-1)=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(9,8,7,6,3,2,1,4,5))$.
Potreste aiutarmi a svolgere gli altri due punti? Non so come cominciare...
Grazie.
Ho il seguente esercizio:
Nel gruppo simmetrico $S_9$ si consideri la permutazione: $alpha=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(7,6,5,8,9,4,3,2,1)) $.
1) Trovare l'ordine di $alpha$;
2) Trovare $alpha^(-1)$;
3) Si dica quanti sono i sottogruppi di $
4) Qual è il sottogruppo di $
Ho risolto i primi due punti ma non so cosa fare nei punti 3) e 4).
1) Dato che risulta: $alpha=(1,7,3,5,9)(2,6,4,8)$, ne segue che $o(alpha)=20$.
2) Risulta: $alpha^(-1)=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(9,8,7,6,3,2,1,4,5))$.
Potreste aiutarmi a svolgere gli altri due punti? Non so come cominciare...
Grazie.
Risposte
Il gruppo $<\alpha>$ è ciclico, poiché generato da un elemento. E ha 20 elementi.
Quindi devi studiare il gruppo $C_(20)$
(o $\mathbb{Z}_(20)$, con la notazione additiva).
Quindi ora puoi scordarti di permutazioni e gruppi simmetrici, lavora su quel gruppo
Quindi devi studiare il gruppo $C_(20)$
(o $\mathbb{Z}_(20)$, con la notazione additiva).
Quindi ora puoi scordarti di permutazioni e gruppi simmetrici, lavora su quel gruppo
Ti dico come ho ragionato io:
chiaramente il gruppo $$ è ciclico di ordine 20. Quindi per il teorema di Lagrange i possibili suoi sottogruppi hanno ordine 1, 2, 4, 5, 10, 20. Escludendo 1, 20 che rappresentano i sottogruppi banali, avrei i casi: 2, 4, 5, 10. Ma siccome il gruppo è ciclico, per ogni divisore del suo ordine vi è uno ed un solo sottogruppo di quell'ordine. Quindi in definitiva vi sarebbero 4 sottogruppi non banali rispettivamente di ordine 2, 4, 5, 10. Ma come individuo un loro generatore?
Io avrei pensato ad un teorema secondo cui, ad esempio, il sottogruppo di ordine 5 è generato da $alpha^(20/5)=alpha^4$. Può andare?
chiaramente il gruppo $
Io avrei pensato ad un teorema secondo cui, ad esempio, il sottogruppo di ordine 5 è generato da $alpha^(20/5)=alpha^4$. Può andare?
Sì, va bene.
La ricerca dell'elemento si fa facilmente "a mano".
Se ad esempio cerchi l'elemento di ordine 2, stai praticamente cercando un $(\alpha)^(n)$ tale che già il quadrato faccia l'identità.
Cioè $(\alpha)^(2n)=1$ cioè $2n=20$ cioè $n=10$.
Anche senza impostate l'equazione, ci puoi arrivare subito che l'elemento di ordine 2, che al quadrato manda subito a 20 l'esponente, è $\alpha^10.$
Questo è diciamo il teorema che citi tu, molto intuitivo.
Tornando poi al gruppo simmetrico, ti fai le potenza per trovare gli elementi di ordine tot che ti servono.
Per l'ultimo punto, ti invito a ricordare che se stai in $S_n$, allora preso un sottogruppo $H$ può essere che
$H\nnA_n=H$ nel caso in cui $H\subA_n$ oppure
$H\nnA_n$ ha la metà degli elementi di $H$, nel caso $H$ non sia contenuto in $A_n$
La ricerca dell'elemento si fa facilmente "a mano".
Se ad esempio cerchi l'elemento di ordine 2, stai praticamente cercando un $(\alpha)^(n)$ tale che già il quadrato faccia l'identità.
Cioè $(\alpha)^(2n)=1$ cioè $2n=20$ cioè $n=10$.
Anche senza impostate l'equazione, ci puoi arrivare subito che l'elemento di ordine 2, che al quadrato manda subito a 20 l'esponente, è $\alpha^10.$
Questo è diciamo il teorema che citi tu, molto intuitivo.
Tornando poi al gruppo simmetrico, ti fai le potenza per trovare gli elementi di ordine tot che ti servono.
Per l'ultimo punto, ti invito a ricordare che se stai in $S_n$, allora preso un sottogruppo $H$ può essere che
$H\nnA_n=H$ nel caso in cui $H\subA_n$ oppure
$H\nnA_n$ ha la metà degli elementi di $H$, nel caso $H$ non sia contenuto in $A_n$
Riguardo l'ultimo punto, ho denotato con $C$ il sottogruppo di ordine 5 generato da $alpha^4$. Ossia $C=$. Poiché facendo i conti solo il generatore di tale sottogruppo lo si può scrivere come prodotto di un numero pari di 2-cicli, deduco che $nnA_9=C$.
Giusto?
Giusto?
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