Esercizio sulle permutazioni!
Salve a tutti ogni tanto ritorno, e ringrazio tutti in anticipo per i grandi aiuti che mi date ogni volta! Questa volta ho bisogno di un aiuto su un esercizio di matematica discreta, più precisamente sulle permutazioni! Anzi se per favore qualcuno ha un pò di materiale su questo argomento gliene sarei grato! il testo dell'esercizio è il seguente:
Quante permutazioni $\sigma in S_10$ ci sono tali che $\sigma(3)=3$ oppure $\sigma(5)=5$?
Ragazzi non so proprio da dove iniziare!
Quante permutazioni $\sigma in S_10$ ci sono tali che $\sigma(3)=3$ oppure $\sigma(5)=5$?
Ragazzi non so proprio da dove iniziare!
Risposte
ricordando che il numero di elementi di $A cup B$ è uguale al numero di elementi di $A$ più il numero di elementi di $B$ meno il numero di elementi di $A cap B$,devi trovare il numero di permutazioni che fissano 3,sommarlo al numero di permutazioni che fissano $5$ e sottrarre il numero di permutazioni che fissano sia il 3 che il 5
una sorta di metodo di inclusione/esclusione? puoi dirmi in concreto come fare?
domandare quante permutazioni di $S_(10)$ fissano un dato elemento è come domandare quante sono le permutazioni di $S_9$
io non capisco proprio cosa significa!!! 
potresti farmi un esempio concreto?
potresti farmi un esempio concreto?
quante permutazioni ha $S_9$ ?
$9!$???
esatto
ora,se tu hai una permutazione di $S_(10)$ che fissa un dato elemento, degli altri 9 fa quello che vuole
quindi le permutazioni di $S_(10)$ che fissano il $3$ sono tante quanta sono lo permutazioni di $S_9$
naturalmente lo stesso vale per le permutazioni che fissano $5$
iterando il ragionamento,le permutazioni che fissano sia il $3$ che il $5$ sono tante quante le permutazioni di $S_8$
ora,se tu hai una permutazione di $S_(10)$ che fissa un dato elemento, degli altri 9 fa quello che vuole
quindi le permutazioni di $S_(10)$ che fissano il $3$ sono tante quanta sono lo permutazioni di $S_9$
naturalmente lo stesso vale per le permutazioni che fissano $5$
iterando il ragionamento,le permutazioni che fissano sia il $3$ che il $5$ sono tante quante le permutazioni di $S_8$
mi sono perso!!! quindi il risultato sarebbe 8! ???
quindi il risultato sarebbe 8! ???
torna al mio primo post
io non riesco proprio a capire cosa indica questa scrittura $\sigma(n)=n$
$sigma(n)=n$ vuol dire che fissa $n$ cioè lo trasforma in se stesso
scusa,ma se non conosci un minimo di teoria è difficile che tu riesca a risolvere gli esercizi
scusa,ma se non conosci un minimo di teoria è difficile che tu riesca a risolvere gli esercizi
io so solo che $\sigma$ sono le permutazioni di $n$ elementi giusto??
Che definizione dai a ‘permutazione’? Se non sai darne una definizione allora dovresti guardarla, anche semplicemente su wiki.
Una permutazione è un modo di ordinare in successione n oggetti distinti, come nell'anagrammare una parola. In termini matematici una permutazione di un insieme X si definisce come una funzione biiettiva $p:X \rightarrow X$
Ok, elimina la prima definizione dalla mente: è inutile.
Essendo una funzione, \(\displaystyle \sigma(x) \) ha il significato usuale di valore della funzione nel punto \(\displaystyle x \). La scrittura \(\displaystyle \sigma(x) = x \) dice che \sigma si comporta come l'identità in quel punto o equivalentemente lo fissa.
La questione è che l'insieme delle permutazioni che fissano 3 e 5 ha la stessa cardinalità dell'insieme che fissa 9 e 10. E questo insieme ha la stessa cardinalità di \(\displaystyle S_8 \).
Essendo una funzione, \(\displaystyle \sigma(x) \) ha il significato usuale di valore della funzione nel punto \(\displaystyle x \). La scrittura \(\displaystyle \sigma(x) = x \) dice che \sigma si comporta come l'identità in quel punto o equivalentemente lo fissa.
La questione è che l'insieme delle permutazioni che fissano 3 e 5 ha la stessa cardinalità dell'insieme che fissa 9 e 10. E questo insieme ha la stessa cardinalità di \(\displaystyle S_8 \).
Forse sono arrivato alla soluzione, la chiave era nel concetto di fissare un elemento. Speriamo che abbia fatto il ragionamento esatto. Siccome siamo in $S_10$ significa che stiamo lavorando con 10 elementi! adesso le permutazioni sono lo scambio di posizione degli elementi, ad esempio:
$1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$ questo equivale a scegliere la posizione $10!$.
adesso $\sigma(3)=3$ significa che l'elemento 3 dovrà essere messo in terza posizione a tutte le successive permutazioni, in questo modo abbiamo la possibilità di scegliere i 10 elementi con $9!$, stesso ragionamento vale per $\sigma(5)=5$, cioè l'elemento 5 dovrà mantenere la quinta posizione a tutte le successive permutazioni degli elementi.
In questo modo abbiamo che 3 e 5 non cambieranno mai la loro posizione e quindi potremo scegliere gli elementi con $8!$.
Esempio
$1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$
$2 1 3 6 5 7 6 8 9 10$
$10 1 3 8 5 6 7 9 2 4$
Giusto?
$1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$ questo equivale a scegliere la posizione $10!$.
adesso $\sigma(3)=3$ significa che l'elemento 3 dovrà essere messo in terza posizione a tutte le successive permutazioni, in questo modo abbiamo la possibilità di scegliere i 10 elementi con $9!$, stesso ragionamento vale per $\sigma(5)=5$, cioè l'elemento 5 dovrà mantenere la quinta posizione a tutte le successive permutazioni degli elementi.
In questo modo abbiamo che 3 e 5 non cambieranno mai la loro posizione e quindi potremo scegliere gli elementi con $8!$.
Esempio
$1 2 3 4 5 6 7 8 9 10$
$2 1 3 6 5 7 6 8 9 10$
$10 1 3 8 5 6 7 9 2 4$
Giusto?
Si, esatto
Grazie a tutti per la infinita disponibilità!
Vorrei chiedervi un altro chiarimento per quanto riguarda sempre le permutazioni.
Cosa significa:
$\sigma(1)=\tau(1)$??
Cosa significa:
$\sigma(1)=\tau(1)$??
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