Esercizio sulle funzioni
Sia $f$ la funzione definita come:
$f(x) = \{( x),(x+2),(x-2):}$
rispettivamente se:
$x-=0_(mod 3)$
$x-=1_(mod 3)$
$x-=2_(mod 3)$
a) verificare che $f(x)$ sia ben definita
b) verificare se $f(x)$ è iniettiva, suriettiva
c) trovare $Im f$ e $kerf$
Riguardo il punto a) non riesco a capire come procedere perchè il concetto di "ben definito" lo associo ad una operazione binaria, "legata" ad una relazione di equivalenza, quando non dipende dai rappresentanti delle classi, ma per una funzione si intende la stessa cosa? Cioè dovrei verificare che $x+y=z$ con $z-=0_(mod 3)$ (nel primo caso)?
Sono un pò confuso
$f(x) = \{( x),(x+2),(x-2):}$
rispettivamente se:
$x-=0_(mod 3)$
$x-=1_(mod 3)$
$x-=2_(mod 3)$
a) verificare che $f(x)$ sia ben definita
b) verificare se $f(x)$ è iniettiva, suriettiva
c) trovare $Im f$ e $kerf$
Riguardo il punto a) non riesco a capire come procedere perchè il concetto di "ben definito" lo associo ad una operazione binaria, "legata" ad una relazione di equivalenza, quando non dipende dai rappresentanti delle classi, ma per una funzione si intende la stessa cosa? Cioè dovrei verificare che $x+y=z$ con $z-=0_(mod 3)$ (nel primo caso)?
Sono un pò confuso
Risposte
Ma il dominio e il codomio della funzione quali sono? $ x $ è un intero modulo 3 oppure $ x \in Z $ ?
Dominio e codominio non sono indicati nell'esercizio, ma presumo sia $ZZ$.
Riscrivo la definizione di funzione, almeno per il primo caso: $f(x)=x$ se $x-=0_(mod 3)$, quindi in pratica $f(x)$ definisce l'insieme degli interi multipli di $3$.
Riscrivo la definizione di funzione, almeno per il primo caso: $f(x)=x$ se $x-=0_(mod 3)$, quindi in pratica $f(x)$ definisce l'insieme degli interi multipli di $3$.
L'ho chiesto perchè se il dominio è $ Z $ non si pone alcun problema di buona definizione. In genere "ben definita" significa che devi verificare che la funzione sia "univoca" cioè che non faccia corrispondere due o più valori diversi ad uno stesso elemento del dominio. Se il dominio per esempio fosse stato $ Z_3 $ allora avresti dovuto verificare che se $ x=y $ (mod 3) allora $ f(x)=f(y) $
Quindi mi stai dicendo che è sufficiente che io verifichi che la funzione sia iniettiva per essere "ben definita"?
No, questa è l'iniettività
$ f(x)=f(y) \rightarrow x=y $
e questa è la buona definizione
$ x=y \rightarrow f(x)=f(y) $
Stai attento al verso delle implicazioni. Ti faccio un esempio di una funzione che non è ben definita
$ f: x \in Z \rightarrow $ ( $x+1$ se x è multiplo di 2 ) e ( $ x+2 $ se x è multiplo di 3)
In questo caso si ha $ f(6)=7 $ e $ f(6)=8 $, non c'è l'univocità.
$ f(x)=f(y) \rightarrow x=y $
e questa è la buona definizione
$ x=y \rightarrow f(x)=f(y) $
Stai attento al verso delle implicazioni. Ti faccio un esempio di una funzione che non è ben definita
$ f: x \in Z \rightarrow $ ( $x+1$ se x è multiplo di 2 ) e ( $ x+2 $ se x è multiplo di 3)
In questo caso si ha $ f(6)=7 $ e $ f(6)=8 $, non c'è l'univocità.
Ho capito. Grazie mille 
Giusto per dare un senso alla discussione riporto la mia soluzione (sempre che abbia capito bene).
Per il punto a) la funzione è ben definita in quanto $f$ non dipende dal rappresentante scelto in ogni classe, infatti per $AAx in ZZ$:
se $x-=0_(mod 3)$, che equivale a dire che $x in [0]_3$ allora $f(x)=x=3k, k in ZZ$
se $x-=1_(mod 3)$, che equivale a dire che $x in [1]_3$ allora $f(x)=x+2=3k, k in ZZ$
se $x-=2_(mod 3)$, che equivale a dire che $x in [2]_3$ allora $f(x)=x-2=3k, k in ZZ$
Il punto b) $f(x)$ è iniettiva e suriettiva
Il punto c) $Imf=ZZ$, mentre per $ker f$ ho qualche dubbio... io so che il nucleo di equivalenza di una funzione è dato quando due elementi hanno la stessa immagine tramite $f$; in questo caso come lo denoto $ker f$?
Per il punto a) la funzione è ben definita in quanto $f$ non dipende dal rappresentante scelto in ogni classe, infatti per $AAx in ZZ$:
se $x-=0_(mod 3)$, che equivale a dire che $x in [0]_3$ allora $f(x)=x=3k, k in ZZ$
se $x-=1_(mod 3)$, che equivale a dire che $x in [1]_3$ allora $f(x)=x+2=3k, k in ZZ$
se $x-=2_(mod 3)$, che equivale a dire che $x in [2]_3$ allora $f(x)=x-2=3k, k in ZZ$
Il punto b) $f(x)$ è iniettiva e suriettiva
Il punto c) $Imf=ZZ$, mentre per $ker f$ ho qualche dubbio... io so che il nucleo di equivalenza di una funzione è dato quando due elementi hanno la stessa immagine tramite $f$; in questo caso come lo denoto $ker f$?
Up, please 
"GundamRX91":Sicuro?
Il punto b) $f(x)$ è iniettiva e suriettiva
$f(3)= 3 = f(1)$ (dunque non c'è iniettività)
Non ci sono $x in ZZ$ tali che $f(x)=4$ (dunque non c'è suriettività)
Accidenti, hai ragione!!! Grazie!!!!!
Invece per il $ker f$ ?
Invece per il $ker f$ ?
Domanda: qual è la definizione di $Ker(f)$?
PS: Non è vero che $Im(f)= ZZ$
PS: Non è vero che $Im(f)= ZZ$
Sia $f:A->B$ una funzione e $R$ una relazione di equivalenza su $f$, allora si ha che $AAx_1,x_2 in A$ $x_1Rx_2 <=> f(x_1)=f(x_2)$.
Però non capisco come applicarlo... ad esempio so che $f(3)=3$ perchè $3-=0_(mod 3)$ e $f(1)=3$ perchè $1-=1_(mod 3)$, quindi $3-=1$ in quanto $f(3)=f(1)$, e $ker f$ dovrebbe essere dato dalle coppie ordinate $(a,b)$ di elementi equivalenti...
Certo, $Im f != ZZ$ non essendo suriettiva
Però non capisco come applicarlo... ad esempio so che $f(3)=3$ perchè $3-=0_(mod 3)$ e $f(1)=3$ perchè $1-=1_(mod 3)$, quindi $3-=1$ in quanto $f(3)=f(1)$, e $ker f$ dovrebbe essere dato dalle coppie ordinate $(a,b)$ di elementi equivalenti...
Certo, $Im f != ZZ$ non essendo suriettiva
Prima di tutto, $ker(f)$ contiene tutte le coppie del tipo $(x,x)$, con $x in ZZ$ (perchè la relazione è riflessiva).
Vogliamo trovare ora la classe di equivalenza di $1$, cioè l'insieme formato da tutti gli elementi che sono in relazione con $1$. Ci sono altri elementi di $ZZ$ che sono in relazione con $1$, oltre a $1$ stesso e $3$?
Cioè, ci sono \(x \in \mathbb{Z} \setminus \{ 1, 3\} \) tali che $f(x)=3$?
"GundamRX91":Benissimo. Dunque $(1,3)$ appartiene a $Ker(f)$ (e anche $(3,1)$, ovviamente).
ad esempio so che $f(3)=3$ perchè $3-=0_(mod 3)$ e $f(1)=3$ perchè $1-=1_(mod 3)$, quindi $3-=1$ in quanto $f(3)=f(1)$
Vogliamo trovare ora la classe di equivalenza di $1$, cioè l'insieme formato da tutti gli elementi che sono in relazione con $1$. Ci sono altri elementi di $ZZ$ che sono in relazione con $1$, oltre a $1$ stesso e $3$?
Cioè, ci sono \(x \in \mathbb{Z} \setminus \{ 1, 3\} \) tali che $f(x)=3$?
Si c'è il $5$, ma mi sa che non ce ne sono altri, o sbaglio?
Non sbagli. Dunque una classe di equivalenza è ${1,3,5}$.
Prova ora a trovare la classe di equivalenza di $0$
Ti ricordo che
$f(x) = \{( x, \text{ se } x-=0_(mod 3)),(x+2, \text{ se } x-=1_(mod 3)),(x-2, \text{ se } x-=2_(mod 3)):}$
Prova ora a trovare la classe di equivalenza di $0$
Ti ricordo che
$f(x) = \{( x, \text{ se } x-=0_(mod 3)),(x+2, \text{ se } x-=1_(mod 3)),(x-2, \text{ se } x-=2_(mod 3)):}$
Dovrebbe essere ${0,2,-2}$.
Esatto. Ora direi di generalizzare: se $x-=0 (mod 3)$ si ha che la classe di equivalenza di $x$ è ${x-2,x,x+2}$.
Sei d'accordo?
Sei d'accordo?
Ora però non capisco. Abbiamo detto che la classe di equivalenza di $0={0,2,-2}$ che si potrebbe generalizzare come $x={x,x-2,x+2}$ in quanto sono gli elementi in relazione di equivalenza con lo $0$. Però solo l'elemento $0-=0_(mod 3)$ gli altri (il $2$ e il $-2$) no, quindi perché poni la condizione se $x-=0_(mod 3)$ ?
PS. Gi8 intanto ti ringrazio per l'aiuto e scusa se ti faccio perdere tempo
PS. Gi8 intanto ti ringrazio per l'aiuto e scusa se ti faccio perdere tempo
Quello che volevo dire è questo: un qualunque $x$ multiplo di $3$ è in relazione con $x$, con $x-2$, con $x+2$ e basta.
Infatti:
$x=3k$ con $k in ZZ$. Si ha $f(3k)=3k$. Inoltre $f(x+2)= f(3k+2)=(3k+2)-2=3k$ e $f(x-2)=f(3k-2)=(3k-2)+2=3k$
Infatti:
$x=3k$ con $k in ZZ$. Si ha $f(3k)=3k$. Inoltre $f(x+2)= f(3k+2)=(3k+2)-2=3k$ e $f(x-2)=f(3k-2)=(3k-2)+2=3k$
Quindi $ker(f)={x-2,x,x+2}$ per $x=3k$ con $k in ZZ$?
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