Esercizio sulle congruenze lineari
Ripropongo l'esercizio di prima come l'ho risolto io, potete dirmi se il ragionamento è giusto?
Allora l'esercizio diceva : "Determinare in $Z_34$ tutti gli elementi a tale che $a^2=a$."
Io l'ho risolto imponendo
$ [a^2]_34=[a]_34$
$[a^2-a]_34=[0]_34$
$ a^2 -a equiv 0 (mod 34)$
se ho $a⋅(a−1)equiv 0(mod34) $posso sdoppiare in due congruenze: $a equiv 0(mod34) o (a−1) equiv0(mod34)$??
Se si pu fare le soluzioni sono $[0]_34$ e $[1]_34$.
Poi mi sono chiesta ... ma queste saranno le soluzioni in ogni $Z_n$ così ?
Allora l'esercizio diceva : "Determinare in $Z_34$ tutti gli elementi a tale che $a^2=a$."
Io l'ho risolto imponendo
$ [a^2]_34=[a]_34$
$[a^2-a]_34=[0]_34$
$ a^2 -a equiv 0 (mod 34)$
se ho $a⋅(a−1)equiv 0(mod34) $posso sdoppiare in due congruenze: $a equiv 0(mod34) o (a−1) equiv0(mod34)$??
Se si pu fare le soluzioni sono $[0]_34$ e $[1]_34$.
Poi mi sono chiesta ... ma queste saranno le soluzioni in ogni $Z_n$ così ?
Risposte
Non ne sono sicuro ma credo di no. Prova con $ZZ_6$, dove:
$[0]^2=[0]$, $[1]^2=[1]$, $[2]^2=[4]$, $[3]^2=[9]=[3]$, $[4]^2=[16]=[10]=[4]$... e qui non abbiamo la situazione da te prospettata.
$[0]^2=[0]$, $[1]^2=[1]$, $[2]^2=[4]$, $[3]^2=[9]=[3]$, $[4]^2=[16]=[10]=[4]$... e qui non abbiamo la situazione da te prospettata.
Confermo quanto detto da GundamRX91: prendi $a=17$
hai che $a(a-1)=17*16=17*2*8=34*8$, dunque $[17^2]_(34) =[17]_(34)$
hai che $a(a-1)=17*16=17*2*8=34*8$, dunque $[17^2]_(34) =[17]_(34)$
"Gi8":
Confermo quanto detto da GundamRX91: prendi $a=17$
hai che $a(a-1)=17*16=17*2*8=34*8$, dunque $[17^2]_(34) =[17]_(34)$
Quindi per trovare anche le altre soluzioni cosa dovrei fare?Perchè con il metodo che ho pensato io ci sono solo $0$ e $1$ come soluzione

Tutto risolto! Ho usato un isomorfismo da $Z_34 ->Z_2XZ_17$!
Potresti indicarlo per favore?

Ho trovato gli elementi che soddisfano questa proprietà nel prodotto diretto e poi ho realizzato un sistema di congruenze con questi elementi!
Taniab scusami ma mi sto perdendo.
Per prodotto diretto hai fatto il prodotto cartesiano tra i due anelli $ZZ_2 \times ZZ_17$ ? Cioè un insieme formato dalle coppie ${([0]_2,[0]_17),([0]_2,[1]_17),([0]_2,[2]_17),...,([1]_2,[0]_17),([1]_2,[1]_17),([1]_2,[2]_17),...}$ ?
E di queste coppie hai preso quelle che soddisfano $a^2=a$ ?
Per prodotto diretto hai fatto il prodotto cartesiano tra i due anelli $ZZ_2 \times ZZ_17$ ? Cioè un insieme formato dalle coppie ${([0]_2,[0]_17),([0]_2,[1]_17),([0]_2,[2]_17),...,([1]_2,[0]_17),([1]_2,[1]_17),([1]_2,[2]_17),...}$ ?
E di queste coppie hai preso quelle che soddisfano $a^2=a$ ?
@Gundam: tieni presente che in \( \mathbb{Z}_{p} \) ( con \( p\) primo) hai che \( [a^2] =[a] \Leftrightarrow \left( [a]=[0] \vee [a]=[1] \right) \) (perché?)
Non so, al "volo" mi viene in mente che una differenza tra un anello e un campo è che quest'ultimo ammette inverso moltiplicativo per ogni suo elemento, ma non riesco a trovare il nesso con quanto hai enunciato (sempre che ci sia)....
No, attenzione. Anche in \( \mathbb{Z}_4 \) hai questa proprietà, e \( \mathbb{Z}_4 \) non è un campo.
Però ad esempio in \( \mathbb{Z}_6 \) (l'hai mostrato tu) e in \( \mathbb{Z}_{34} \) non vale la proprietà
Tralasciamo i casi banali \( a=0 \vee a=1 \). Dunque $a in {2,...,p-1}$. Quindi $a*(a-1)>0$
Affinchè $a*(a-1)$ sia multiplo di $p$ deve accadere che uno tra $a$ e $a-1$ è multiplo di $p$. Ma ciò non è possibile
Però ad esempio in \( \mathbb{Z}_6 \) (l'hai mostrato tu) e in \( \mathbb{Z}_{34} \) non vale la proprietà
"Gi8":Sia $a in {0,1,2,...,p-1}$. Abbiamo \( [a^2] =[a] \Leftrightarrow a\cdot (a-1) = k \cdot p\)
in \( \mathbb{Z}_{p} \) ( con \( p\) primo) hai che \( [a^2] =[a] \Leftrightarrow \left( [a]=[0] \vee [a]=[1] \right) \)
Tralasciamo i casi banali \( a=0 \vee a=1 \). Dunque $a in {2,...,p-1}$. Quindi $a*(a-1)>0$
Affinchè $a*(a-1)$ sia multiplo di $p$ deve accadere che uno tra $a$ e $a-1$ è multiplo di $p$. Ma ciò non è possibile
Ho capito! In effetti gli elementi di un campo $ZZ_p$ non possono essere multipli di $p$ quando è un numero primo, e tra l'altro mi sembra di capire che $a*(a-1)$ sia sempre un numero pari, quindi non divisibile comunque per un numero primo (fatte salve le premesse sui casi banali).
Resta allora valido il ragionamento di taniab fatto sul primo post: $[a]^2=[a]$ che è equivalente a $a^2-=a_(mod p)$ per $p$ numero primo, è vero solo per $a=0$ e $a=1$.
Resta allora valido il ragionamento di taniab fatto sul primo post: $[a]^2=[a]$ che è equivalente a $a^2-=a_(mod p)$ per $p$ numero primo, è vero solo per $a=0$ e $a=1$.