Esercizio sulle classi di equivalenza

[Nekra49]

Buonasera, sono uno studente universitario, e ho bisogno di un piccolo aiuto sulle classi di equivalenza. In genere non ho problemi a trovarli, infatti l'esempio che segue non ho problemi a risolverlo..
Data la relazione \(\displaystyle xRy \Leftrightarrow\ (∃ k∈Z ∣ x=y+9k) ∀ x, y ∈ Z \)
Per trovare una classe di equivalenza \(\displaystyle [j]\Re \) la si trova facendo \(\displaystyle j + 9k \). Quindi la classe di equivalenza di \(\displaystyle [1] = 1, 10, -8, 19, -17, 28, -26... \)

Nel caso in cui invece abbiamo un esercizio dove dati due insiemi \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle B \) che sono due insiemi dei numeri naturali, e la relazione di equivalenza \(\displaystyle ARB \Leftrightarrow\ minA = minB \) dove \(\displaystyle minA \) sta per il minimo del insieme \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle minB \) sta per il minimo del insieme \(\displaystyle B \), come faccio a trovare la classe di equivalenza di un numero? Ad esempio di 0?
Dovendo essere i due minimi uguali, la classe di equivalenza di un numero non è composta sempre da un solo numero che è uguale? Ad esempio la classe di equivalenza di 0 è 0, di 1 è 1, di 2 è 2..

[killing_buddha]

Beh, no, la classe di equivalenza di \(\{n\}\) è fatta da tutti gli insiemi della forma \(\{n\}\sqcup K\) dove $K\subseteq \mathbb N_{>n} = \{n+1,n+2,...\}$.

[Indrjo Dedej]

"Nekra49":
$x R y \Leftrightarrow \min A=\min B$

Non ho capito. Volevi forse dire\[A R B \Leftrightarrow \min A=\min B\]?

[Nekra49]

"Indrjo Dedej":[quote="Nekra49"]
$x R y \Leftrightarrow \min A=\min B$

Non ho capito. Volevi forse dire\[A R B \Leftrightarrow \min A=\min B\]?[/quote]
Si esatto, scusami. Ho corretto

[Nekra49]

"killing_buddha":Beh, no, la classe di equivalenza di \(\{n\}\) è fatta da tutti gli insiemi della forma \(\{n\}\sqcup K\) dove $K\subseteq \mathbb N_{>n} = \{n+1,n+2,...\}$.

Uhm.. non riesco a capire il motivo per cui la classe di equivalenza è composta da tutti i numeri maggiori di \(\displaystyle {n} \)...

[steppox]

Cominciamo col dire che non hai la classe di equivalenza di un numero. Si sta parlando di insiemi, quindi stai considerando l'insieme contenente il solo elemento n (${n}$ anche detto singleton di n). Gli insiemi della classe di equivalenza sono quelli della forma suggerita da killing_buddha perché min({n})=n e di conseguenza saranno nella stessa classe tutti gli insiemi X che hanno min(X)=n e quindi, come giá detto, quelli costutuiti da {n} unito ad un qualsiasi insieme di elementi maggiori di n (in modo che n sia il min dell'insieme)

[killing_buddha]

"Nekra49":[quote="killing_buddha"]Beh, no, la classe di equivalenza di \(\{n\}\) è fatta da tutti gli insiemi della forma \(\{n\}\sqcup K\) dove $K\subseteq \mathbb N_{>n} = \{n+1,n+2,...\}$.

Uhm.. non riesco a capire il motivo per cui la classe di equivalenza è composta da tutti i numeri maggiori di \(\displaystyle {n} \)...[/quote]
Infatti quello che hai detto non ha senso. La relazione è sui sottoinsiemi di $NN$, non su $NN$.

[Nekra49]

Quindi il mio errore consisteva nel credere che dove trovare prima il minimo del insieme, e poi trovare la classe di equivalenza di tale minimo, che rispettasse la relazione. Essendo invece una relazione tra insiemi, la classe di equivalenza di un numero è formata da qui numeri che fanno parte dello stesso insieme e che rispecchino in qualche modo tale funzione. Mi spiego meglio con un esempio:

Data la funzione \(\displaystyle f \) che fa la somma di tutti i numeri primi, sia \(\displaystyle R \) una relazione di equivalenza \(\displaystyle ARB \) solo e solo se \(\displaystyle f(A) = f(B) \).
Ipotizziamo ora che \(\displaystyle A = {2,3,5,7,8,10,12} \) e che \(\displaystyle B = {3,4,5,6,7,8,9,10,12,14} \)
La classi di equivalenza di \(\displaystyle [3] = {3,5,7} \)
La classi di equivalenza di \(\displaystyle [5] = {5,3,7} \)
La classi di equivalenza di \(\displaystyle [7] = {7,3,5} \)
É corretto?

[killing_buddha]

Stai mescolando relazioni su insiemi di numeri e relazioni su insiemi di insiemi senza capire, e senza che si capisca niente.
Chiarisciti le idee.

[steppox]

"Nekra49":Quindi il mio errore consisteva nel credere che dove trovare prima il minimo del insieme, e poi trovare la classe di equivalenza di tale minimo, che rispettasse la relazione. Essendo invece una relazione tra insiemi, la classe di equivalenza di un numero è formata da qui numeri che fanno parte dello stesso insieme e che rispecchino in qualche modo tale funzione. Mi spiego meglio con un esempio:

Data la funzione \(\displaystyle f \) che fa la somma di tutti i numeri primi, sia \(\displaystyle R \) una relazione di equivalenza \(\displaystyle ARB \) solo e solo se \(\displaystyle f(A) = f(B) \).
Ipotizziamo ora che \(\displaystyle A = {2,3,5,7,8,10,12} \) e che \(\displaystyle B = {3,4,5,6,7,8,9,10,12,14} \)
La classi di equivalenza di \(\displaystyle [3] = {3,5,7} \)
La classi di equivalenza di \(\displaystyle [5] = {5,3,7} \)
La classi di equivalenza di \(\displaystyle [7] = {7,3,5} \)
É corretto?

Stai facendo parecchia confusione. Cerco di spiegartelo anche con un esempio.
La relazione $ARB$ se e solo se $minA=minB$ definisce per l'appunto una relazione tra INSIEMI. In particolare ti dice che due insiemi sono in relazione se e solo se hanno lo stesso elemento minimo. Consideriamo l'insieme dei numeri naturali $N$ con la relazione d'ordine usuale $<=$.
Adesso facciamo un esempio su una possibile classe di equivalenza:
Innanzitutto, se non si fosse ancora capito, per come è definita la relazione devi ragionare sempre su INSIEMI. Quindi consideriamo un qualsiasi sottonisieme di $N$, per esempio $X={2,3,8,5,7,13,94,121}sube N$. Supponiamo di voler definire la classe di equivalenza di $X$ cioè $[X]$.
La domanda da porsi è: Quali sono gli insiemi che sono in relazione con X?
Sapendo come è definita la relazione, indicando con Y un generico sottoinsieme di $N$ sappiamo che $YRX$ se e solo se $minY=minX$. (N.B. in questo esempio stiamo ragionando su $N$, ma potrebbe essere un qualsiasi insieme)
Conoscendo l'insieme X sappiamo che $minX=2$ quindi gli insiemi nella classe di equivalenza di X sono tutti gli $YsubeN$ tali che $minY=2$. Essendo $N$ un'insieme NON finito, è impossibile scrivere esplicitamente tutti gli insiemi che stanno nella classe di equivalenza di X, perchè anche questi sarebbero infiniti. Adesso sempre come esempio, scriviamo alcuni insiemi e vediamo se stanno nella classe di equivalenza di X:
$W={3,4,9,2,7,16,12084,557,41,65}$
$K={13,32,5,94,65}$
$Z={942,88,132,1,2,41}$
Partiamo da W: $minW=2$ quindi $minW=minX$ dunque W è nella classe di equivalenza di X.
Passiamo a K: $minK=5$ in questo caso $minK!=minX$ dunque K non è nella classe di equivalenza di X.
Passiamo a Z: $minZ=1$ anche in questo caso $minZ!=minX$ dunque Z non è nella classe di equivalenza di X.
Come vedi la relazione è sempre sugli insiemi, quindi non avrebbe senso in questo caso calcolare [3] o [5] come dici tu, ma avrebbe senso calcolare [{3}] o [{5}], perchè 3 e 5 non sono insiemi, mentre {3} e {5} lo sono.