Esercizio sulle classi di coniugio
Ciao a tutti.. non riesco a svolgere questo esercizio sulle classi di coniugio:
sia $G$ un gruppo finito.Dimostra che se $G$ ha tre classi di coniugio allora $ G \=sim Z_3 $ oppure $G \=sim S_3 $.$ G$ isomorfo a $Z_3$ oppure a $S_3$.
Io so che se $C_1$,$C_2$ e $C_3$ sono le mie tre classi allora $|C_1|$ divide $|G|$ e così per le altre due.. inoltre dalle ipotesi deduco che $|G|=3k$ per $k€Z$ ma non so come continuare!.. grazie dell'aiuto!
sia $G$ un gruppo finito.Dimostra che se $G$ ha tre classi di coniugio allora $ G \=sim Z_3 $ oppure $G \=sim S_3 $.$ G$ isomorfo a $Z_3$ oppure a $S_3$.
Io so che se $C_1$,$C_2$ e $C_3$ sono le mie tre classi allora $|C_1|$ divide $|G|$ e così per le altre due.. inoltre dalle ipotesi deduco che $|G|=3k$ per $k€Z$ ma non so come continuare!.. grazie dell'aiuto!
Risposte
Anche questo esercizio è non immediato.
Prendi un gruppo finito [tex]G[/tex] con esattamente tre classi di coniugio.
Osserva per cominciare che l'ordine di [tex]G[/tex] deve essere del tipo [tex]p^aq^b[/tex] con [tex]p,q[/tex] primi. In altre parole [tex]|G|[/tex] ha al più due divisori primi. Questo è per il teorema di Cauchy: esistono elementi di ordine ogni fissato divisore primo di [tex]G[/tex], ed elementi di ordine distinto non sono coniugati (pensaci!).
Ora, il numero di coniugati di un elemento [tex]x \in G[/tex] è l'indice del centralizzante di [tex]x[/tex] in [tex]G[/tex], e siccome [tex]\langle x \rangle \subseteq C_G(x)[/tex] si ha [tex]|G:C_G(x)| \leq |G: \langle x \rangle|[/tex].
Supponi che [tex]p \neq q[/tex]. Hai [tex]|G|=p^aq^b[/tex]. Prendi [tex]x[/tex] di ordine [tex]p[/tex] e [tex]y[/tex] di ordine [tex]q[/tex]. Allora per l'ipotesi le classi di coniugio di [tex]G[/tex] sono [tex]\{1\},\ x^G,\ y^G[/tex] e [tex]p^aq^b = |G| = 1+|G:C_G(x)|+|G:C_G(y)| \leq 1+p^{a-1}q^b+p^aq^{b-1}[/tex].
D'ora in poi sono conti. Ricorda di discutere anche il caso [tex]p=q[/tex].
Prendi un gruppo finito [tex]G[/tex] con esattamente tre classi di coniugio.
Osserva per cominciare che l'ordine di [tex]G[/tex] deve essere del tipo [tex]p^aq^b[/tex] con [tex]p,q[/tex] primi. In altre parole [tex]|G|[/tex] ha al più due divisori primi. Questo è per il teorema di Cauchy: esistono elementi di ordine ogni fissato divisore primo di [tex]G[/tex], ed elementi di ordine distinto non sono coniugati (pensaci!).
Ora, il numero di coniugati di un elemento [tex]x \in G[/tex] è l'indice del centralizzante di [tex]x[/tex] in [tex]G[/tex], e siccome [tex]\langle x \rangle \subseteq C_G(x)[/tex] si ha [tex]|G:C_G(x)| \leq |G: \langle x \rangle|[/tex].
Supponi che [tex]p \neq q[/tex]. Hai [tex]|G|=p^aq^b[/tex]. Prendi [tex]x[/tex] di ordine [tex]p[/tex] e [tex]y[/tex] di ordine [tex]q[/tex]. Allora per l'ipotesi le classi di coniugio di [tex]G[/tex] sono [tex]\{1\},\ x^G,\ y^G[/tex] e [tex]p^aq^b = |G| = 1+|G:C_G(x)|+|G:C_G(y)| \leq 1+p^{a-1}q^b+p^aq^{b-1}[/tex].
D'ora in poi sono conti. Ricorda di discutere anche il caso [tex]p=q[/tex].
perchè $|G|$ può avere al massimo due divisori primi?
Perché se ci sono tre divisori primi [tex]p,q,r[/tex] allora esistono elementi [tex]x,y,z[/tex] di ordini rispettivamente [tex]p,q,r[/tex] (per il teorema di Cauchy) e in particolare hanno classi di coniugio a due a due distinte (elementi coniugati hanno lo stesso ordine!) e quindi [tex]\{1\},x^G,y^G,z^G[/tex] sono quattro classi di coniugio distinte di [tex]G[/tex], assurdo.
Rifletti bene e a lungo (a lungo (a lungo)) sulle idee che ti ho dato, è un esercizio impegnativo!
Rifletti bene e a lungo (a lungo (a lungo)) sulle idee che ti ho dato, è un esercizio impegnativo!
@martino.. ho pensato a lungo ai tuoi suggerimenti e credo di averli capiti.. l'ultima disequazione è chiara ma non riesco a svolgere i calcoli 
... comunque se ho capito bene studiando il caso $q=!p$ mi dovrebbe venire un'assurdo mentre nel caso $q=p$ dalla/e soluzione/i della disuguaglianza dovrei dedurre che $|G|=3$.. o sbaglio?? ..questii sono i conti che ho provato a fare : $p^aq^b<=1+p^(a-1)q^b+p^aq^(b-1)$ quindi $p^aq^b-1-p^(a-1)q^b-p^aq^(b-1)<=0$ poi ho posto $1=p^ap^(-a)$ e quindi ottengo $p^(a-1)(pq^b-pp^(-a)-q^b-pq^(b-1))<=0$ se e solo se $ { ( p^(a-1)<=0 ),( pq^b-pp^(-a)-q^b-pq^(b-1)>=0 ):} $ $U$ $ { ( p^(a-1)>=0 ),( pq^b-pp^(-a)-q^b-pq^(b-1)<=0 ):} $ . Il primo sistema però non ha soluzioni poichè $p^(a-1)>=0$ per ogni $p$ naturale. Inoltre $p$ non può essere uguale a $0$ altrimenti l'insieme sarebbe vuoto contro ipotesi. Devo quindi risolvere il secondo sistema. La prima disuguaglianza è valida per ogni $p$ reale e a maggior ragione per $p$ naturale. Nella seconda ho provato a intendere $p$ o $q$ come incognite e quindi trovare qualche soluzione ma non riesco ad andare avanti. potresti darmi un suggerimento per andare avanti nei calcoli??
grazie mille!!
... comunque se ho capito bene studiando il caso $q=!p$ mi dovrebbe venire un'assurdo mentre nel caso $q=p$ dalla/e soluzione/i della disuguaglianza dovrei dedurre che $|G|=3$.. o sbaglio?? ..questii sono i conti che ho provato a fare : $p^aq^b<=1+p^(a-1)q^b+p^aq^(b-1)$ quindi $p^aq^b-1-p^(a-1)q^b-p^aq^(b-1)<=0$ poi ho posto $1=p^ap^(-a)$ e quindi ottengo $p^(a-1)(pq^b-pp^(-a)-q^b-pq^(b-1))<=0$ se e solo se $ { ( p^(a-1)<=0 ),( pq^b-pp^(-a)-q^b-pq^(b-1)>=0 ):} $ $U$ $ { ( p^(a-1)>=0 ),( pq^b-pp^(-a)-q^b-pq^(b-1)<=0 ):} $ . Il primo sistema però non ha soluzioni poichè $p^(a-1)>=0$ per ogni $p$ naturale. Inoltre $p$ non può essere uguale a $0$ altrimenti l'insieme sarebbe vuoto contro ipotesi. Devo quindi risolvere il secondo sistema. La prima disuguaglianza è valida per ogni $p$ reale e a maggior ragione per $p$ naturale. Nella seconda ho provato a intendere $p$ o $q$ come incognite e quindi trovare qualche soluzione ma non riesco ad andare avanti. potresti darmi un suggerimento per andare avanti nei calcoli?? grazie mille!!
Non fissarti nel risolvere disequazioni nel modo "classico".
(*) [tex]p^{a-1} q^{b-1} (pq-p-q) \leq 1[/tex].
Come vedi questo porta a un assurdo se [tex]pq-p-q > 1[/tex]. E d'altra parte non può essere [tex]pq \leq p+q[/tex] (perché?), quindi deduci che [tex]pq=p+q+1[/tex], da cui ottieni forti restrizioni su [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] (ricorda che sono numeri primi!!), e in particolare da (*) segue [tex]p^{a-1}q^{b-1} \leq 1[/tex]. Prosegui da qui. Come vedi è facile, cerca di proseguire da sola
"Martino":Questo riscrivilo così:
[tex]p^aq^b = |G| = 1+|G:C_G(x)|+|G:C_G(y)| \leq 1+p^{a-1}q^b+p^aq^{b-1}[/tex].
(*) [tex]p^{a-1} q^{b-1} (pq-p-q) \leq 1[/tex].
Come vedi questo porta a un assurdo se [tex]pq-p-q > 1[/tex]. E d'altra parte non può essere [tex]pq \leq p+q[/tex] (perché?), quindi deduci che [tex]pq=p+q+1[/tex], da cui ottieni forti restrizioni su [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] (ricorda che sono numeri primi!!), e in particolare da (*) segue [tex]p^{a-1}q^{b-1} \leq 1[/tex]. Prosegui da qui. Come vedi è facile, cerca di proseguire da sola
studiando il caso $p!=q$ sono arrivata a concludere che $p=3$ e $q=2$ perchè: so che $pq>=p+q$ per ogni $p,q >=2$,ed è uguale se almeno uno dei due fattori è $1$, allora $pq-p-q>=0$. Per poter verificare la disuguaglianza iniziale,cioè (*) $p^aq^b<=1+p^(a-1)q^b+q^(b-1)p^a$,ho due possibilità su $pq-p-q$ e cioè: $pq=p+q$ oppure $pq=1+p+q$. La prima è vera se $p=q=2$ (caso da escludere perchè $p!=q$) mentre la seconda mi porta a studiare,come hai suggerito tu,il caso $p^(a-1)q^(b-1)<=1$ e quindi deve essere $a=b=1$ perchè $p$ e $q$ li scelgo $>=2$. Ma allora ritornando alla (*) ottengo $pq<=1+q+p$ che è vera se $p=2$ e $q=3$ o viceversa. Quindi se $|G|=6$ allora può essere isomorfo al gruppo $C_6$ ,ciclico e quindi abeliano,oppure ad $S_3$. Posso escludere il caso in cui $G$ sia abeliano poichè se lo fosse allora non avrei più tre classi di coniugio,come per ipotesi,ma una sola. Giusto??
Per il caso $p=q$ ho trovato qualche problema in quanto mi viene $|G|=4$!. Ho ragionato così: partendo sempre da (*) riottengo i due casi in cui $pq=p+q$ oppure $pq=1+p+q$. La prima mi dice che $p=q=2$,accettabile, mentre la seconda,come sopra,mi dice che $a=b=1$ quindi $|G|=2*2=4$.
e poi se deve essere $p=q$ come faccio a ritrovarmi $3$??
grazie ancora per la pazienza!!
Per il caso $p=q$ ho trovato qualche problema in quanto mi viene $|G|=4$!. Ho ragionato così: partendo sempre da (*) riottengo i due casi in cui $pq=p+q$ oppure $pq=1+p+q$. La prima mi dice che $p=q=2$,accettabile, mentre la seconda,come sopra,mi dice che $a=b=1$ quindi $|G|=2*2=4$.
e poi se deve essere $p=q$ come faccio a ritrovarmi $3$?? grazie ancora per la pazienza!!
Il caso [tex]p \neq q[/tex] l'hai scritto in modo un po' complicato ma va bene.
Nel caso in cui [tex]p=q[/tex] è meglio ricominciare da capo, dato che se resti con [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] dovresti permettere ad [tex]a,b[/tex] di essere uguali a [tex]-1[/tex] (altrimenti perdi casi).
Insomma, sei nel caso [tex]|G|=p^a[/tex], e procedendo come sopra ottieni [tex]p^a \leq 2p^{a-1}+1[/tex], cioè [tex]p^{a-1}(p-2) \leq 1[/tex]. Continua da qui.
PS. Un gruppo abeliano ha tante classi di coniugio quant'è il suo ordine. Non una sola come hai detto, attenzione.
Nel caso in cui [tex]p=q[/tex] è meglio ricominciare da capo, dato che se resti con [tex]p[/tex] e [tex]q[/tex] dovresti permettere ad [tex]a,b[/tex] di essere uguali a [tex]-1[/tex] (altrimenti perdi casi).
Insomma, sei nel caso [tex]|G|=p^a[/tex], e procedendo come sopra ottieni [tex]p^a \leq 2p^{a-1}+1[/tex], cioè [tex]p^{a-1}(p-2) \leq 1[/tex]. Continua da qui.
PS. Un gruppo abeliano ha tante classi di coniugio quant'è il suo ordine. Non una sola come hai detto, attenzione.
sisi giusto se $G$ è abeliano le classi di coniugio sono tante quanti gli elementi del gruppo! Mi sono sbagliata. Comunque i conti mi vengono e pure il risultato per intero 
grazie mille di nuovo!!
grazie mille di nuovo!!
Ragazzi ma come faccio a considerare $G/(C_G(x))$.. in generale il centralizzante non è normale in $G$ ma nel normalizzante..
makako, benvenuto nel forum.
"makako":L'indice di un sottogruppo è definito anche se il sottogruppo non è normale: vedi qui.
Ragazzi ma come faccio a considerare $G/(C_G(x))$.. in generale il centralizzante non è normale in $G$ ma nel normalizzante..
perchè in questo caso a noi interessa soltanto il numero di elementi coniugati di $x$,cioè $|G/(C_G(x))|$e non la struttura delle classi laterali.. o sbaglio?? ... però facendo da me avrei considerato $|G|=1+ |C_G(x)|+ |C_G(y)|$ .. andava bene lo stesso per quanto riguarda la relazione?.. perchè con i conti viene più semplice considerando $|G/(C_G(x))|$.
Non capisco cosa stai dicendo. Il numero di coniugati di [tex]x \in G[/tex] è l'indice (non l'ordine) del suo centralizzante.
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