Esercizio sulla teoria dei gruppi
raga ,cortesemente qualcuno può aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio:
Si consideri, nell’insieme Z6 , l’operazione interna così definita:
[x]*[y]=[x+y+5]
.
a) Determinare la tabella dell’operazione.
b) Provare che (Z6,*) è un gruppo. Dire se è ciclico e, in caso affermativo, determinare i generatori.
c) Determinare i sottogruppi, non banali, di (Z6,*) .
grazie mille
Si consideri, nell’insieme Z6 , l’operazione interna così definita:
[x]*[y]=[x+y+5]
.
a) Determinare la tabella dell’operazione.
b) Provare che (Z6,*) è un gruppo. Dire se è ciclico e, in caso affermativo, determinare i generatori.
c) Determinare i sottogruppi, non banali, di (Z6,*) .
grazie mille
Risposte
Beh nessuna idea?
La prima domanda sono semplici calcoli. Da chi è composta è $ZZ_6$?
La prima domanda sono semplici calcoli. Da chi è composta è $ZZ_6$?
Z6={ [0],[1],[2],[3],[4],[5]}
ciao potresti dirmi almeno quali sono i generatori?
grazie tante
ciao potresti dirmi almeno quali sono i generatori?
grazie tante
Sai cosa significa affermare che un gruppo è ciclico? Sai cosa sono i generatori?
Un gruppo G è ciclico se essite un g tale che g elevato h per h che appartiene a Z genera il gruppo e quindi
in Z6
0*[0]=[0]
1*[0]=[0]
2*[0]=[5]
3* [0]=[4]
4*[0]=[3]
5*[0]=[2]
secondo l'operazione prima definita.
Raga per favore qualcuno può aiutarmi mostrandomi lo svolgimento del punto 2 di tale esercizio?
grazie tante
in Z6
0*[0]=[0]
1*[0]=[0]
2*[0]=[5]
3* [0]=[4]
4*[0]=[3]
5*[0]=[2]
secondo l'operazione prima definita.
Raga per favore qualcuno può aiutarmi mostrandomi lo svolgimento del punto 2 di tale esercizio?
grazie tante
$\bar0*\bar0=0+0+5=5$ e non a $0$ come hai scritto.
$\bar2*\bar0=2+0+5=1$
e ci sono altri errori... riguarda un po' i calcoli.
Il primo punto l'hai fatto? Si tratta di fare i calcoli mettendo in tabella gli elementi e svolgendo tutti i possibili prodotto. In questo modo hai anche risposta a (parte) della seconda domanda. Infatti potrai osservare che esiste un elemento neutro tale che per ogni $ainG$ $ae=a=ea$. E sarà semplice vedere se esiste un elemento $g$ che genera il gruppo.
$\bar2*\bar0=2+0+5=1$
e ci sono altri errori... riguarda un po' i calcoli.
Il primo punto l'hai fatto? Si tratta di fare i calcoli mettendo in tabella gli elementi e svolgendo tutti i possibili prodotto. In questo modo hai anche risposta a (parte) della seconda domanda. Infatti potrai osservare che esiste un elemento neutro tale che per ogni $ainG$ $ae=a=ea$. E sarà semplice vedere se esiste un elemento $g$ che genera il gruppo.
non mi trovo su ciò che dici poiché
n*[g]=g*g*g*... per n volte
quindi
2*[0]=[0]*[0]= [0+0+5]=[5]
non é forse cosi?
Senti posso sapere quando ti colleghi in modo che ci confrontiamo?
IO sempre di sera
n*[g]=g*g*g*... per n volte
quindi
2*[0]=[0]*[0]= [0+0+5]=[5]
non é forse cosi?
Senti posso sapere quando ti colleghi in modo che ci confrontiamo?
IO sempre di sera
Aspetta qui è una questione di simbologia e di operazioni.
Tu hai definito un operazione binaria $*:ZZ_6 \times ZZ_6 \to ZZ_6$ tale che $[x]*[y]=[x+y+5]$.
Quindi $[0]*[0]=[5]$ e così via.
Come fai a definire multiplo quello? Quello si rifà ad un operazione canonicamente definita in $ZZ$ (o in $ZZ_n$) - sarebbe tra l'altro da aggiustare-. Ti ricordo che la nostra è un'operazione binaria interna, cioè lavora con due argomenti entrambi di $ZZ_6$
Tu hai definito un operazione binaria $*:ZZ_6 \times ZZ_6 \to ZZ_6$ tale che $[x]*[y]=[x+y+5]$.
Quindi $[0]*[0]=[5]$ e così via.
Come fai a definire multiplo quello? Quello si rifà ad un operazione canonicamente definita in $ZZ$ (o in $ZZ_n$) - sarebbe tra l'altro da aggiustare-. Ti ricordo che la nostra è un'operazione binaria interna, cioè lavora con due argomenti entrambi di $ZZ_6$
Il * non é da intendersi come moltiplicazione ma come un'operazione *generica la cui regola di esecuzione é [x] op. generica [y]=[x+y+5].Ho costruito la tabella dell'operazione che ti riporto
* 0 1 2 3 4 5
0 5 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4 5
2 1 2 3 4 5 0
3 2 3 4 5 0 1
4 3 4 5 0 1 2
5 4 5 0 1 2 3
Ho già dimostrato che é un gruppo poiché vale l'associativa ,esiste l'elemento neutro; ogni elemento ammette l'inverso.Come si trovano i generatori?
C'é una relazione tra l'ordine dell'elemento e i generatori di un gruppo ciclico?
Inoltre poiché hg=g*g* per h volte 1<=h<=6 in base alla definizione
Quindi quali sono i generatori?
Inoltre per il teorema di Eulero il numero di generatori é pari a 6-1=5?
Quindi si dovrebbe dimostrare che questo gruppo ha 5 generetori?
Cortesemente mi aiuti a vedere spiegandomi passo passo come si trovano i generatori per questo gruppo ?Grazie Ciao
* 0 1 2 3 4 5
0 5 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4 5
2 1 2 3 4 5 0
3 2 3 4 5 0 1
4 3 4 5 0 1 2
5 4 5 0 1 2 3
Ho già dimostrato che é un gruppo poiché vale l'associativa ,esiste l'elemento neutro; ogni elemento ammette l'inverso.Come si trovano i generatori?
C'é una relazione tra l'ordine dell'elemento e i generatori di un gruppo ciclico?
Inoltre poiché hg=g*g* per h volte 1<=h<=6 in base alla definizione
Quindi quali sono i generatori?
Inoltre per il teorema di Eulero il numero di generatori é pari a 6-1=5?
Quindi si dovrebbe dimostrare che questo gruppo ha 5 generetori?
Cortesemente mi aiuti a vedere spiegandomi passo passo come si trovano i generatori per questo gruppo ?Grazie Ciao
Ci sono degli errori in quello che dici.
Definendo un operazione in quel modo molta della teoria non può venirti in aiuto, o più precisamente, devi adattarla.
Tu dici che $h*g=g*...*g$ $h$-volte ma questo non è vero. L'abbiamo mostrato prima. Infatti per $h=\bar 0,g= \bar 0$ dovremmo avere $\bar 0 *...* \bar0$ $0$ volte, ovvero $0$, ma in realtà questo prodotto vale $5$.
Inoltre la funzione di Eulero non lavora come dici tu. Quello vale solo per i primi, cioè $phi(p)=p-1$. In generale $phi(p^a)=p^a-p^(a-1)$. Considera inoltre che è moltiplicativa cioè $phi(pq)=phi(p)phi(q)$.
Ora dire che un gruppo è ciclico vuol dire che esiste un elemento $g in ZZ_6$ che generi il gruppo.
Prendiamo ad esempio $0$ e consideriamo il prodotto $0*0=0+0+5=5$
Ora consideriamo $0*5=0+5+5=10 \equiv 4$, consideriamo $0*4=0+4+5=9 \equiv 3$, ancora $0*3=0+3+5=8 \equiv 2$ ancora $0*2=0+2+5=7 \equiv 1$.
Cioè abbiamo mostrato che $<0> = ZZ_6$ che pertanto è un gruppo ciclico. Ovviamente rispetto a questa operazione.
PS Ho forse capito il tuo dubbio circa i multipli. La questione è questa. Se tu consideri l'operazione $*$ definita nel primo post questa lavora con due oggetti che stanno in $G$. Quindi la scrittura $h*g$ indica il prodotto $h+g+5$.
Possiamo tuttavia definire "multiplo" di $g$, sempre rispetto a $*$, questa composizione: $ng=g*...*g$ $n$-volte, dove $n$ è un intero però, non un elemento di $G$. Ecco perchè la scrittura $h*g$ ti trae in inganno.
Definendo un operazione in quel modo molta della teoria non può venirti in aiuto, o più precisamente, devi adattarla.
Tu dici che $h*g=g*...*g$ $h$-volte ma questo non è vero. L'abbiamo mostrato prima. Infatti per $h=\bar 0,g= \bar 0$ dovremmo avere $\bar 0 *...* \bar0$ $0$ volte, ovvero $0$, ma in realtà questo prodotto vale $5$.
Inoltre la funzione di Eulero non lavora come dici tu. Quello vale solo per i primi, cioè $phi(p)=p-1$. In generale $phi(p^a)=p^a-p^(a-1)$. Considera inoltre che è moltiplicativa cioè $phi(pq)=phi(p)phi(q)$.
Ora dire che un gruppo è ciclico vuol dire che esiste un elemento $g in ZZ_6$ che generi il gruppo.
Prendiamo ad esempio $0$ e consideriamo il prodotto $0*0=0+0+5=5$
Ora consideriamo $0*5=0+5+5=10 \equiv 4$, consideriamo $0*4=0+4+5=9 \equiv 3$, ancora $0*3=0+3+5=8 \equiv 2$ ancora $0*2=0+2+5=7 \equiv 1$.
Cioè abbiamo mostrato che $<0> = ZZ_6$ che pertanto è un gruppo ciclico. Ovviamente rispetto a questa operazione.
PS Ho forse capito il tuo dubbio circa i multipli. La questione è questa. Se tu consideri l'operazione $*$ definita nel primo post questa lavora con due oggetti che stanno in $G$. Quindi la scrittura $h*g$ indica il prodotto $h+g+5$.
Possiamo tuttavia definire "multiplo" di $g$, sempre rispetto a $*$, questa composizione: $ng=g*...*g$ $n$-volte, dove $n$ è un intero però, non un elemento di $G$. Ecco perchè la scrittura $h*g$ ti trae in inganno.
"liantar":
Il * non é da intendersi come moltiplicazione ma come un'operazione *generica la cui regola di esecuzione é [x] op. generica [y]=[x+y+5].Ho costruito la tabella dell'operazione che ti riporto
* 0 1 2 3 4 5
0 5 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4 5
2 1 2 3 4 5 0
3 2 3 4 5 0 1
4 3 4 5 0 1 2
5 4 5 0 1 2 3
Ho già dimostrato che é un gruppo poiché vale l'associativa ,esiste l'elemento neutro; ogni elemento ammette l'inverso.Come si trovano i generatori?
C'é una relazione tra l'ordine dell'elemento e i generatori di un gruppo ciclico?
Inoltre poiché hg=g*g* per h volte 1<=h<=6 in base alla definizione
Quindi quali sono i generatori?
Inoltre per il teorema di Eulero il numero di generatori é pari a 6-1=5?
Quindi si dovrebbe dimostrare che questo gruppo ha 5 generetori?
Cortesemente mi aiuti a vedere spiegandomi passo passo come si trovano i generatori per questo gruppo ?Grazie Ciao
Prova a guardare la tabella e risponditi da solo... Manda $ZZ_6$ in $S_6$ tramite la canonica azione di Cayley e osserva cos'è l'immagine di 2... Certo puoi anche fare qualche calcolo...
[X]*[Y]=[X+Y+5] VUOL DIRE CHE X E Y SONO DUE ELEMENTI DI G.LA TABELLA CHE HO SCRITTO PRIMA VALE PER DUE ELEMENTI DI G OVVERO PER DUE CLASSI DI G.CIO' CHE TI CHIEDO E' CHE SE FACCIO H VOLTE UNA CLASSE SECONDO L'OPERAZIONE DEFINITA PRIMA HO UN RISULTATO DIVERSO DALL'OPERAZIONE DELLA TABELLA?
INFATTI [0] *[0]=[0+0+5]=[5]
MA [0]*0 é DIVERSO DA [0]*[0]?
GRAZIE CIAO
INFATTI [0] *[0]=[0+0+5]=[5]
MA [0]*0 é DIVERSO DA [0]*[0]?
GRAZIE CIAO
IN TEORIA NON MI HANNO SPIEGATO COME MANDARE Z6 IN S6 TRAMITE tramite la canonica azione di Cayley ,mi spieghi come si fà passo passo?
grazie ciao
grazie ciao
"liantar":
IN TEORIA NON MI HANNO SPIEGATO COME MANDARE Z6 IN S6 TRAMITE tramite la canonica azione di Cayley ,mi spieghi come si fà passo passo?
grazie ciao
Tu sai cos'è $S_6$? Ora spiegandoti in maniera molto ridotta (la versione completa la trovi con il teorema di Cayley) la tabella della verità è una rappresentazione come permutazioni del gruppo stesso (di fatto è la biezione $a\mapsto ax$ dove $x$ è l'elemento di $G$ che consideri). La biezione la vedi nella tabella della verità considerando la riga.
Prendiamo $0$ nella tua tabella:
*012345
0501234
... .. .. ..
Ora $0$ è quindi la permutazione $(105432)$ che ha ordine $6$ e quindi genera il gruppo.
Non messo in scrittura ciclica sarebbe:
$0 = ((0 1 2 3 4 5),(5 0 1 2 3 4))$
che come vedi è praticamente la relazione espressa dalla tabella della verità.
"liantar":
[X]*[Y]=[X+Y+5] VUOL DIRE CHE X E Y SONO DUE ELEMENTI DI G.LA TABELLA CHE HO SCRITTO PRIMA VALE PER DUE ELEMENTI DI G OVVERO PER DUE CLASSI DI G.CIO' CHE TI CHIEDO E' CHE SE FACCIO H VOLTE UNA CLASSE SECONDO L'OPERAZIONE DEFINITA PRIMA HO UN RISULTATO DIVERSO DALL'OPERAZIONE DELLA TABELLA?
INFATTI [0] *[0]=[0+0+5]=[5]
MA [0]*0 é DIVERSO DA [0]*[0]?
GRAZIE CIAO
Scrivere $0*[0]$ non ha senso. E' questo ciò che voglio farti capire!
Nell'ultimo mio post ho cercato di farti capire la differenza tra la definizione dell'operazione e del multiplo.
PS Non si scrive in maiuscolo sui forum, equivale ad urlare
Ragazzi ,grazie per il vostro aiuto sia al nome in codice mistake che a vict .Buon Natale a tutti voi , alle vostre famiglie e felice anno nuovo
Ciao
Ciao
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