Esercizio sul principio del buon ordinamento
Salve a tutti chiedo scusa in anticipo se sto per fare una domanda su una dimostrazione che sicuramente è banale ma non ho idea di come impostarla XD L'esercizio è:
Mostrare che il principio del buon ordinamento dei numeri naturali implica che 1 è il più piccolo numero naturale. Usare questo risultato per mostrare che il principio del buon ordinamento implica il principio dell'induzione matematica
Grazie tantissimo a chi mi sa fare una dimostazione esauriente ^^
Mostrare che il principio del buon ordinamento dei numeri naturali implica che 1 è il più piccolo numero naturale. Usare questo risultato per mostrare che il principio del buon ordinamento implica il principio dell'induzione matematica
Grazie tantissimo a chi mi sa fare una dimostazione esauriente ^^
Risposte
La dimostrazione nessuno te la fa. Al più qualcuno potrebbe aiutarti a comporne una.
Caro perplesso, vedo che sei nuovo qundi benvenuto.
Come già ti hanno detto, questo forum non ha come finalità quello di sfornare dimostrazioni o soluzioni a chi ne richiede, ma è un luogo di discussione come tra l'altro specificato dal regolamento
Buona navigazione, a presto.
Come già ti hanno detto, questo forum non ha come finalità quello di sfornare dimostrazioni o soluzioni a chi ne richiede, ma è un luogo di discussione come tra l'altro specificato dal regolamento
1.4 Non è da intendersi scambio culturale la semplice richiesta di risoluzione di un esercizio. Chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire.
Buona navigazione, a presto.
Ti ringrazio del benvenuto, mi scuso non volevo approfittare dei gentili utenti del forum... è solo che ho iniziato a studiare algebra da poco e non nutro molta fiducia nei miei ragionamenti XD perciò cercavo un confronto magari con qualcuno che ne capisce più di me.... cmq io l'avrei pensata così... scelgo un sottinsieme S dei naturali che contiene tutti i naturali, ebbene per il principio del buon ordinamento S deve avere un elemento più piccolo di tutti gli altri... e io devo dimostrare che è 1 XD ... allora ho pensato che se n è un elemento dell'insieme S maggiore o uguale a 1 allora anche n+1 è maggiore o uguale a 1... quindi per induzione tutti gli elementi di S sono maggiori o uguali a 1 ovvero 1 è il più piccolo fra i naturali... questo è! ma saraà giusto? boh....
Se [tex]S[/tex] contiene tutti i naturali ed è una parte di [tex]\mathbb{N}[/tex] allora per definizione di uguaglianza tra insiemi si ha [tex]S=\mathbb{N}[/tex].
Beh si hai ragione ... apparte questo il resto della dimostrazione è corretto?
Direi di sì ma non riesco a capire come e dove usi il principio del minimo in questa dimostrazione che, di fatto, si fonda sul principio di induzione.
Ovviamente attendi prima il parare degli altri.
Ovviamente attendi prima il parare degli altri.
Boh sul libro di algebra il principio del buon ordinamento lo enuncia così:
Ogni sottinsieme non vuoto dei numeri naturali ha un elemento minimo
(è un testo inglese spero di aver tradotto bene XD)
allora io ho detto S è un sottinsieme dei naturali quindi deve per forza avere un minimo e dal momento che 1 appartiene ad S facciamo vedere che è 1 il più piccolo... almeno credo... XD
Ogni sottinsieme non vuoto dei numeri naturali ha un elemento minimo
(è un testo inglese spero di aver tradotto bene XD)
allora io ho detto S è un sottinsieme dei naturali quindi deve per forza avere un minimo e dal momento che 1 appartiene ad S facciamo vedere che è 1 il più piccolo... almeno credo... XD
Mi permetto di fare qualche osservazione, visto che sono fresco fresco di giornata in fatto di induzione classica e principio del minimo.
Anzitutto, se stiamo parlando di Aritmetica in senso standard, cioè secondo Peano, il più piccolo numero naturale è lo zero.
Infatti un assioma dice che "$0$ è numero naturale" e un altro assioma afferma che $0$ non è successore di alcun naturale. Mettendo insieme questi due fatti, si ha che $0$ è proprio il minimo di $NN$.
Quanto al principio del minimo, esso può venire enunciato in questa forma: ogni sottoinsieme non vuoto di $NN$ ammette elemento minimo.
Esso è equivalente al principio di induzione matematica, vale a dire $"principio del minimo" iff "principio di induzione"$.
Tu che direzione sei interessato a dimostrare? Credo la freccia di andata, come si dice: cioè, vuoi dedurre dal principio del minimo quello di induzione.
Bene, comincia a scrivere le ipotesi e la tesi per bene, così ci capiamo. Dopodichè, ti dico subito che si può procedere per assurdo e...
Anzitutto, se stiamo parlando di Aritmetica in senso standard, cioè secondo Peano, il più piccolo numero naturale è lo zero.
Infatti un assioma dice che "$0$ è numero naturale" e un altro assioma afferma che $0$ non è successore di alcun naturale. Mettendo insieme questi due fatti, si ha che $0$ è proprio il minimo di $NN$.
Quanto al principio del minimo, esso può venire enunciato in questa forma: ogni sottoinsieme non vuoto di $NN$ ammette elemento minimo.
Esso è equivalente al principio di induzione matematica, vale a dire $"principio del minimo" iff "principio di induzione"$.
Tu che direzione sei interessato a dimostrare? Credo la freccia di andata, come si dice: cioè, vuoi dedurre dal principio del minimo quello di induzione.
Bene, comincia a scrivere le ipotesi e la tesi per bene, così ci capiamo. Dopodichè, ti dico subito che si può procedere per assurdo e...
Io credo che ci sia un piccolo problema: perplesso deve provare che [tex]\text{principio de minimo } \implies 1=\min\mathbb{N} \implies \text{ principio di induzione }[/tex] e la prima implicazione ancora non è stata provata, senza contare che ha dimostrato questa implicazione prprio per induzione. Quindi direi che occorre iniziare dalla prima implicazione.
Domanda: chi è l'autore del testo? Ed il titolo?
Domanda: chi è l'autore del testo? Ed il titolo?
Il testo è Abstract Algebra Theory and Applications di Thomas Judson
principio del minimo => 1=minN => principio di induzione
Esatto... quindi ora devo dimostrare la prima implicazione senza usare l'induzione vero?
principio del minimo => 1=minN => principio di induzione
Esatto... quindi ora devo dimostrare la prima implicazione senza usare l'induzione vero?
Ovviamente.
Chiedo scusa, ma continuo a non capire... qual è il minimo di $NN$? Perchè io ho studiato che è $min NN = 0$?
In alcune letterature si ha [tex]0 \in \mathbb{N}[/tex], in altre è [tex]0 \notin \mathbb{N}[/tex] e, conseguentemente, [tex]\min\mathbb{N}=1[/tex].
Come mostrare che [tex]0=\min\mathbb{N}[/tex] o, rispettivamente, [tex]1=\min\mathbb{N}[/tex] dipende da quale approccio si adotta: si può presentare [tex]\mathbb{N}[/tex] con gli assiomi di Peano, con gli assiomi di Pieri, con gli assiomi di Padoa e come parte minimale induttiva di [tex]\mathbb{R}[/tex] (introdotto assiomaticamente) ed, ovviamente, in ciascuno di questi casi la dimostrazione è leggermente differente, ergo diventa importante sapere come viene esposta la questione nel testo cui fa riferimento perplesso, testo che io, per il momento, non riesco a reperire sulla rete.
Come mostrare che [tex]0=\min\mathbb{N}[/tex] o, rispettivamente, [tex]1=\min\mathbb{N}[/tex] dipende da quale approccio si adotta: si può presentare [tex]\mathbb{N}[/tex] con gli assiomi di Peano, con gli assiomi di Pieri, con gli assiomi di Padoa e come parte minimale induttiva di [tex]\mathbb{R}[/tex] (introdotto assiomaticamente) ed, ovviamente, in ciascuno di questi casi la dimostrazione è leggermente differente, ergo diventa importante sapere come viene esposta la questione nel testo cui fa riferimento perplesso, testo che io, per il momento, non riesco a reperire sulla rete.
Il testo di judson è questo http://abstract.ups.edu/download.html
non ne avevo idea cercherò di studiarmi tutte queste formulazioni grazie del consiglio ^^
si può presentare \mathbb{N} con gli assiomi di Peano, con gli assiomi di Pieri, con gli assiomi di Padoa e come parte minimale induttiva di \mathbb{R} (introdotto assiomaticamente)
non ne avevo idea cercherò di studiarmi tutte queste formulazioni grazie del consiglio ^^
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo