Esercizio sui prodotti diretti

[Lorin1]

Dimostrare che $ZZxZZ_5$ non è ciclico.

Io so che presi separatamente $ZZ$ e $ZZ_5$ sono ciclici, in quanto sono entrambi generati, il primo da $1$ e il secondo da $[1]_5$, con la differenza che il primo è aperiodico e il secondo lo è (periodo 5). Allora l'idea era quella di mostrare che comunque io prenda una coppia $(a,b) in ZZxZZ_5$ essa non generarà mai tutto il gruppo in quanto $ZZ$ è aperiodico e $ZZ_5$ lo è, quindi non posso utilizzare il fatto che il periodo di una coppia (in generale di un n-pla di elementi) è il minimo comune multiplo dei periodi dei singoli elementi. Quindi $ZZxZZ_5$ non è ciclico

[egregio]

Federico II ?

[Lorin1]

No...
E' un esclusiva della Federico II fare queste domande...?! XD

[Studente Anonimo]

"Lorin":non posso utilizzare il fatto che il periodo di una coppia (in generale di un n-pla di elementi) è il minimo comune multiplo dei periodi dei singoli elementi. Quindi $ZZxZZ_5$ non è ciclico

Non puoi utilizzare quel fatto quindi il gruppo non è ciclico?

Non mi pare una dimostrazione

Un metodo semplice è osservare che un gruppo ciclico infinito [tex]\langle g \rangle[/tex] non può avere elementi di ordine finito (se $g^n$ avesse ordine finito allora anche $g$ avrebbe ordine finito). Quindi il gruppo infinito [tex]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_5[/tex] non è ciclico ammettendo elementi di ordine 5.

[Lorin1]

Quindi non ricado nella situazione in cui $ZZ$ è aperiodico e $ZZ_5$ lo è? Quindi $ZZxZZ_5$ non è ciclico...