Esercizio sui polinomi

[gaten]

Ragazzi ho il seguente esercizio:

Usando un'opportuna equazione congruenziale , trovare, se esiste, un elemento $a in Z_11$ tale che m in $Z_11[x]$ , il polinomio $x-bar(2)$ divida $f=x^4+bar(2)x^2+bar(7)ax+bar(3)$

Io ho proceduto così.
$x-2 | f$ significa che $bar(2)$ è radice di f. Sostituendo $bar(2)$ ottengo:

$bar(14)a = bar(-27)$, $bar(-27)$ in $Z_11$ è la classe di $bar(6)$. Qunque l'equazione congruenziale da risolvere è:

$14a -= 6 (mod. 11)$ Applicando l'algoritmo sulle divisioni successive ottengo:

$1 = 14(4) + 11(-5)$ dunque $4$ dovrebbe essere soluzione ma non lo è poichè:

$11$ non divide $14*4-6=50$

Cosa sbaglio?

Grazie anticipatamente.

[Kashaman]

ciao allora tu $f(2)=2^4+2*2^2+14a+3=0$ in $ZZ_11$ cio equivale a dire che $5+8+3a+3-=0(mod11)$
quindi $3a-=6(mod11)$ ($-5=6(mod11)$)
Ora $(3,11)=1$ e $1|11$ ok la congruenza è compatibile.
Un inverso aritmetico modulo 11 di 3 è quattro.
Infatti
$[3]_11*[4]_11=[12]_11=[1]_11$ . Pertanto moltiplicando ambo i membri risulta che:
$a-=4*6-=24-=2(mod11)$ che è il valore di a richiesto.
Dunque il polinomio $x-2 | f=x4+2−x2+7−2x+3 in ZZ_11[X} $
Ciao

[gaten]

Giustamente , io non avevo espresso 16 come la classe di 5 e 14 come la classe di 3, il resto è tutto chiaro. Grazie mille.

[gundamrx91-votailprof]

"Kashaman":ciao allora tu $f(2)=2^4+2*2^2+14a+3=0$ in $ZZ_11$ cio equivale a dire che $5+8+3a+3-=0(mod11)$
quindi $3a-=6(mod11)$ ($-5=6(mod11)$)
Ora $(3,11)=1$ e $1|11$ ok la congruenza è compatibile.
Un inverso aritmetico modulo 11 di 3 è quattro.
Infatti
$[3]_11*[4]_11=[12]_11=[1]_11$ . Pertanto moltiplicando ambo i membri risulta che:
$a-=4*6-=24-=2(mod11)$ che è il valore di a richiesto.
Dunque il polinomio $x-2 | f=x4+2−x2+7−2x+3 in ZZ_11[X} $
Ciao

Penso che per [tex]f[/tex] intendessi [tex]x^4+\bar{2}x^2+\bar{3}x+\bar{3}[/tex], o sbaglio ?

[Kashaman]

$f(X)=X^4+2x^2+14x+3=x^4+2x^2+3x+3 in ZZ_11[X] , a-=2(mod11)$ (Si intendevo quello, errore di battitura.)

[gundamrx91-votailprof]

Grazie