Esercizio sui polinomi
Ragazzi ho la seguente applicazione:
$omega: f in R[x]-> f(1) in R$
i) studiare iniettività e suriettività
ii) Di quale sottoinsieme di $R$ l'insieme $L$ dei polinomi in $R[x]$ che ammettono $1$ come radice, può essere visto come antiimmagine rispetto a $omega$?
$omega: f in R[x]-> f(1) in R$
i) studiare iniettività e suriettività
ii) Di quale sottoinsieme di $R$ l'insieme $L$ dei polinomi in $R[x]$ che ammettono $1$ come radice, può essere visto come antiimmagine rispetto a $omega$?
Risposte
Proponi te una qualche strada di risoluzione, così la confrontiamo assieme! 
Se non erro, l'applicazione dice: ad ogni polinomio $f in R[x]$ associa $1 in R$ come radice.
In primis, direi che non è iniettiva, poichè posso avere polinomi differenti che vengono annullati con una radice uguale a $1$, per la suriettività, bisogna verificare che:
$AA c in R, EE g in R[x] : c=f(g)$ , ditemi se stò sbagliando.
In primis, direi che non è iniettiva, poichè posso avere polinomi differenti che vengono annullati con una radice uguale a $1$, per la suriettività, bisogna verificare che:
$AA c in R, EE g in R[x] : c=f(g)$ , ditemi se stò sbagliando.
Attenzione la tua applicazione richiede che [tex]f(1)[/tex] appartenga ad [tex]\mathbb{R}[/tex] e non che 1 sia radice del polinomio.
La suriettività oserei dire quasi che è ovvia! 
menale, non riesco a capire cos'hai scritto. Però , $f(1)$ indica un polinomio al quale dai come radice $1$ o mi sbaglio?? Questo , può appartenere ad R?
Quindi vediamo se ho capito:
l'app omega, ad ogni polinomio appartenente ad $R[x]$, associa $1$ al valore della $x$, ottenendo un valore appartenente ad $R$ esempio:
$3x+4->7$
$4x+2->6$
e questo fà si che l'applicazione $omega$ non è iniettiva in quanto:
$4x+2->6$
$x+5->6$
A elementi distinti del dominio, corrispondono elementi uguali nel codominio.
Suriettività...
come dimostro che è suriettiva o meno?
l'app omega, ad ogni polinomio appartenente ad $R[x]$, associa $1$ al valore della $x$, ottenendo un valore appartenente ad $R$ esempio:
$3x+4->7$
$4x+2->6$
e questo fà si che l'applicazione $omega$ non è iniettiva in quanto:
$4x+2->6$
$x+5->6$
A elementi distinti del dominio, corrispondono elementi uguali nel codominio.
Suriettività...
come dimostro che è suriettiva o meno?
Aspetta forse c'è una miscomprensione tra noi due sul concetto di radice di un polinomio.
Un elemento a del campo in cui è definito il nostro polinomio $ f(x) $, è radice del polinomio se $ f(a)=0 $ . Convieni con questa mia definizione?
Un elemento a del campo in cui è definito il nostro polinomio $ f(x) $, è radice del polinomio se $ f(a)=0 $ . Convieni con questa mia definizione?
P.S. Ho proposto la definizione proprio per mettere in evidenza come l'applicazione su definita non sia legata alle radici del polinomio ma al valore che assume lo stesso in determinati valori del campo.
Certo menale, sono d'accordissimo con te. Inoltre riguado alla mia definizione sull'applicazione sei d'accordo??? cioè che ad ogni polinomio di $R[x]$, associo al valore della $x$, il valore $1$, ottenendo un valore appartenente ad $R$.
Ho anche studiato l'iniettività e la suriettività. Puoi dare uno sguardo?
Ho anche studiato l'iniettività e la suriettività. Puoi dare uno sguardo?
Per la surgiettività convengo con il tuo discorso. L'applicazione non può essere iniettiva dal momento che si trovano polinomi per cui in corrispondenza di 1 si abbiano gli stessi valori (ex: $ x-1 $ e $ x^2-x $ ). Ok?
"menale":
Per la surgiettività convengo con il tuo discorso. L'applicazione non può essere iniettiva dal momento che si trovano polinomi per cui in corrispondenza di 1 si abbiano gli stessi valori (ex: $ x-1 $ e $ x^2-x $ ). Ok?
menale assolutamente no!
L'applicazione è suriettiva perchè comunque prendi un numero reale esiste sempre polinomio che lo ha come immagine!
"Mrhaha":
[quote="menale"]Per la surgiettività convengo con il tuo discorso. L'applicazione non può essere iniettiva dal momento che si trovano polinomi per cui in corrispondenza di 1 si abbiano gli stessi valori (ex: $ x-1 $ e $ x^2-x $ ). Ok?
menale assolutamente no!
L'applicazione è suriettiva perchè comunque prendi un numero reale esiste sempre polinomio che lo ha come immagine![/quote]
Mister, gaten ha detto che è suriettiva.
@gaten-L'applicazione è si iniettiva, ma non suriettiva!
Forse non ho capito. L'immagine qual è? Il valore assunto dal polinomio per $x=1$?
Se è così l'applicazione è suriettiva!
Se è così l'applicazione è suriettiva!
menale, io non ho assolutamente detto che è suriettiva, non a caso chiedevo. Si può sapere perchè è iniettiva (sempre se lo fosse).
"menale":
@gaten-L'applicazione è si iniettiva, ma non suriettiva!
Non concordo e lo ribadisco. E' surgettiva perchè preso $i in RR$ posso considerare $p(x)=x+ i-1$ pertanto posso sempre vedere un numero reale come immagine di un polinomio. La funzione è suriettiva.
Ho usato il fatto che: Sia $f: A -> B$, essa è suriettiva se $f(A)=B$.
Chiaro?
Dimenticavo. La funzione non può essere iniettiva. Basta pensare al solo fatto che esistono polinomi che hanno in comune una la radice 1, quindi $f(1)=g(1)=0$ dove $g$ ed $f$ sono due polinomi in una variabile. hanno la stessa immagine, quindi l'applicazione non è iniettiva!
Ribadisco anche che ho preso un esempio. Posso anche fare in modo che $1$ non sia radice. Quello che importa è trovare un controesempio.
Gaten, non è iniettiva. Se ci pensi [tex]x-1[/tex] e [tex]x^2-x[/tex] presentano lo stesso valore in prossimità dell'1!
@Mr-Da oggi ti chiamo "fra-pappina" 
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