Esercizio sui polinomi...
scusate ragazzi....
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema...
dimostrare che
MCD(x^(a)-1 , x^(b) -1) = x^(MCD(a,b)) -1
nn riesco a dimostrarlo...
qualcuno ha un'idea???
qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questo problema...
dimostrare che
MCD(x^(a)-1 , x^(b) -1) = x^(MCD(a,b)) -1
nn riesco a dimostrarlo...
qualcuno ha un'idea???
Risposte
Allora...
a) per $a$ intero $x^a-1$ è divisibile per $x-1$. Vale infatti l'identità...
$x^a-1= (x-1)(x^(a-1)+x^(a-2)+...+x+1)$ (1)
b) se $k$ divide $a$ allora $y^a-1$ è divisibile per $y^k-1$. Per provare ciò basta infatti porre nella (1) $x=y^k$...
Da a) e b) si deduce che se $k$ divide sia $a$ sia $b$ allora $x^k-1$ divide sia $x^a-1$ sia $x^b-1$. L'asserto è così dimostrato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
a) per $a$ intero $x^a-1$ è divisibile per $x-1$. Vale infatti l'identità...
$x^a-1= (x-1)(x^(a-1)+x^(a-2)+...+x+1)$ (1)
b) se $k$ divide $a$ allora $y^a-1$ è divisibile per $y^k-1$. Per provare ciò basta infatti porre nella (1) $x=y^k$...
Da a) e b) si deduce che se $k$ divide sia $a$ sia $b$ allora $x^k-1$ divide sia $x^a-1$ sia $x^b-1$. L'asserto è così dimostrato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Sto cercando anchio di risolvere questo problema insieme ad adriano... siccome sono giunto anchio alle tue stesse conclusioni non mi torna in effetti una cosa.... perke ($x^k -1$) dovrebbe essere proprio il MCD, non potrebbe esistere un altro polinomio di grado maggiore che divida entrambi?
per il resto nulla da obbiettare........
per il resto nulla da obbiettare........
...
Ma il quesito non ha senso
...
sicuri che a e b non appartengano ai numeri interi...
o ancora meglio ad i positivi senza lo zero...
altrimenti è banalmente dimostrabile che per $a=b=0$ si cade in assurdo...
Ma il quesito non ha senso
...sicuri che a e b non appartengano ai numeri interi...
o ancora meglio ad i positivi senza lo zero...
altrimenti è banalmente dimostrabile che per $a=b=0$ si cade in assurdo...
L'assurdo nn penso che ci sia visto che P son i numeri positivi e quindi >0 e non > o uguali a 0
ah...
quindi appartengono a P...
...
non c'era scritto da nessuna parte...
...
allora se così fosse la risoluzione del quesito di lupo grigio è pienamente corretta...
ineccepibile...
quindi appartengono a P...
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non c'era scritto da nessuna parte...
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allora se così fosse la risoluzione del quesito di lupo grigio è pienamente corretta...
ineccepibile...
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