Esercizio sui polinomi

[anto_zoolander]

siano $f(x),g(x) in K[x]$ due polinomi nell'indeterminata $x$

[size=85]se $a in K$ è una radice di molteplicità $k_1,k_2$ allora $(f*g)(x)$ ha come radice $a in K$ con molteplicità $k_1+k_2$[/size]

chiaramente $h(a)=f(a)*g(a)=0*0=0$ pertanto è una radice
sfruttando il fatto che $k_1,k_2$ siano le molteplicità di $alpha$ in, rispettivamente, $f,g$

$f(x)=(x-a)^(k_1)Q_1(x)$ e $g(x)=(x-a)^(k_2)Q_2(x)$

ovvero $h(x)=(x-a)^(k_1+k_2)Q_1(x)Q_2(x)$ pertanto ha almeno molteplicità $k_1+k_2$
supponiamo per assurdo che la molteplicità possa essere almeno $k_1+k_2+1$ allora

$h(x)=(x-a)^(k_1+k_2+1)Q(x)$ poichè $K[x]$ è un dominio di integrità si ottiene che, essendo $(x-a)^(k_1+k_2)$, diverso dal polinomio nullo deve essere

$(x-a)Q(x)=Q_1(x)Q_2(x)$

ma $(x-a)$ è un polinomio irriducibile in quanto deve essere scritto come prodotto di due polinomi di cui almeno uno avente grado zero ed essendo non nullo, deve essere anche il polinomio di grado zero non nullo ovvero è un polinomio del tipo $(c,0,....)$ ovvero invertibile e quindi irriducibile, ma allora è primo.

essendo primo e dividendo il prodotto $Q_1(x)Q_2(x)$ deve dividere almeno uno dei due. Supponiamo che divida $Q_1(x)$ ottenendo che $Q_1(x)=(x-a)*R(x)$ da cui subito si ottiene che $f(x)=(x-a)^(k_1+1)R(x)$ che viola l'ipotesi che la radice abbia molteplicità $k_1$ in $f$

è corretto?

[killing_buddha]

Che caratteristica ha l'anello dei coefficienti? Può succedere che $Q_1(a)\ne 0\ne Q_2(a)$, ma il loro prodotto sia zero. Tipo, prendi $K = \mathbb Z/12\mathbb Z$, $f=3(X-1)^2$, $g=4(X-1)^3$; il prodotto $fg$ è zero, quindi ha $1$ (e tutti gli altri numeri) come radice di molteplicità alta a piacere.

Ma in realtà ti sto rispondendo mentre faccio un'altra cosa, potrei sbagliare in maniera eclatante.

[anto_zoolander]

Ma siamo anche in un dominio di integrità

Se $Q_1*Q_2$ fosse il polinomio nullo allora $h$ sarebbe nullo e pertanto almeno uno tra $f,g$ deve essere nullo.
Sempre per il fatto che $K[x]$ è integro

[otta96]

Ho la sensazione che anto stesse sottintendendo che $K$ sia un campo, nel qual caso funzionerebbe perché funziona appena abbiamo un dominio d'integrità.

[anto_zoolander]

Si esattamente! Scusate se non l’ho precisato