Esercizio sui gruppi dell'herstein
Se $|G|=pq$ con $p$, $q$, primi distinti. Se $G$ ha un stgp normale di ordine $p$ ed un stgp normale di ordine $q$
dimostrare che $G$ è ciclico.
Procedo nel modo seguente: siano $A$ e $B$ tali stgp, ed $|A|=p$ e $|B|=q$, se avessero un stgp$!=(e)$ in comune l'ordine di tale stgp dovrebbe essere un divisore sia di $p$ che di $q$ ma $(p,q)=1$ quindi si deduce che l'unico stgp che possono avere necessariamente in comune è il stgp banale $(e)$, inoltre per la normalità di entrambi osservo che $AA$ coppia di elementi $ainA$,$binB$ l'elemento della forma $aba^(-1)b^(-1)$ deve appartenere ad entrambi i stgp in quanto per l'associatività si ha $aba^(-1)b^(-1)=(aba^(-1))(b^-1)$ ma $aba^(-1) in B , b^(-1) in B rArr aba^(-1) b^(-1)in B$ ma sempre per l'associativita' si ha $aba^(-1)b^(-1)=(a)(ba^(-1)b^(-1)) $ ma $a in A , ba^(-1)b^(-1) in A rArr aba^(-1)b^(-1) in B$ quindi necessariamente deve essere $aba^(-1)b^(-1)=e$ da qui si deduce facilmente che $ab=ba$ cioè ogni elemento di $A$ commuta con ogni elemento di$B$.Prendo adesso in considerazione l'elemento della forma $ab$ comunque presi $ainA$, $b inB$ e vado a dimostrare che tale elemento risulta di ordine $pq$. Infatti essendo che $a$ commuta con $b$ si vede facilmente che $(ab)^(pq)=a^(pq)b^(pq)$ inoltre si ha $o(a)=p$ in quanto $A$ stgp di ordine primo,analogo discorso per $o(b)=q$, ma$(p,q)=1$pertanto $m.c.m.(p,q)=pq$ allora $o(ab)=pq$ $rArr$ $$ $=G$
Non so se quello che ho sritto sia giusto se qualcuno vuole controllare,grazie!
dimostrare che $G$ è ciclico.
Procedo nel modo seguente: siano $A$ e $B$ tali stgp, ed $|A|=p$ e $|B|=q$, se avessero un stgp$!=(e)$ in comune l'ordine di tale stgp dovrebbe essere un divisore sia di $p$ che di $q$ ma $(p,q)=1$ quindi si deduce che l'unico stgp che possono avere necessariamente in comune è il stgp banale $(e)$, inoltre per la normalità di entrambi osservo che $AA$ coppia di elementi $ainA$,$binB$ l'elemento della forma $aba^(-1)b^(-1)$ deve appartenere ad entrambi i stgp in quanto per l'associatività si ha $aba^(-1)b^(-1)=(aba^(-1))(b^-1)$ ma $aba^(-1) in B , b^(-1) in B rArr aba^(-1) b^(-1)in B$ ma sempre per l'associativita' si ha $aba^(-1)b^(-1)=(a)(ba^(-1)b^(-1)) $ ma $a in A , ba^(-1)b^(-1) in A rArr aba^(-1)b^(-1) in B$ quindi necessariamente deve essere $aba^(-1)b^(-1)=e$ da qui si deduce facilmente che $ab=ba$ cioè ogni elemento di $A$ commuta con ogni elemento di$B$.Prendo adesso in considerazione l'elemento della forma $ab$ comunque presi $ainA$, $b inB$ e vado a dimostrare che tale elemento risulta di ordine $pq$. Infatti essendo che $a$ commuta con $b$ si vede facilmente che $(ab)^(pq)=a^(pq)b^(pq)$ inoltre si ha $o(a)=p$ in quanto $A$ stgp di ordine primo,analogo discorso per $o(b)=q$, ma$(p,q)=1$pertanto $m.c.m.(p,q)=pq$ allora $o(ab)=pq$ $rArr$ $
Non so se quello che ho sritto sia giusto se qualcuno vuole controllare,grazie!
Risposte
Se c'è qualcuno che vuol dare un parere sull'esattezza o meno della soluzione all'esercizio proposto, grazie!
Correttissimo ma avresti fatto prima così: essendo [tex]$A$[/tex] un [tex]$p$[/tex]-Sylow normale in [tex]$G$[/tex] allora esso è unico, idem per [tex]$B$[/tex]; in conseguenza al teorema di Lagrange: [tex]$A\cap B=\{e\}$[/tex], tali sottogruppi sono ciclici e sono gli unici sottogruppi di [tex]$G$[/tex] sicché [tex]$G=\langle A;B\rangle$[/tex]; risultando così [tex]$G$[/tex] prodotto diretto di gruppi ciclici è abeliano eppoi concludi come hai fatto che [tex]$G=\langle ab\rangle$[/tex].
"francicko":
essendo che $a$ commuta con $b$ si vede facilmente che $(ab)^(pq)=a^pb^q$
Avrei detto che $(ab)^(pq)=a^(pq)b^(pq)$
Inoltre hai provato che $o(ab)=pq$ ma non che $ab$ è un generatore di $G$.
@deserto Ricordati la definizione di periodo di un elemento di un gruppo!
Suppongo che tu conosca questa "versione"
Suppongo che tu conosca questa "versione"
il periodo [tex]$o(g)$[/tex] di un elemento [tex]$g$[/tex] di un gruppo [tex]$(G,\cdot)$[/tex] ad elemento neutro [tex]$e_G$[/tex] è il minimo numero intero positivo [tex]$m$[/tex] tale che [tex]$g^m=e_G$[/tex]prova per esercizio a dimostrare la sua equivalenza con questa altra "versione"
il periodo [tex]$o(g)$[/tex] di un elemento [tex]$g$[/tex] di un gruppo [tex]$(G,\cdot)$[/tex] è l'ordine del sottogruppo [tex]$\langle g\rangle$[/tex]
Rispondo a Deserto;
Grazie per l'intervento, per quanto riguarda $(ab)^(pq)=a^pb^q$ come giustamente mi hai fatto notare si é trattato di un errore di digitazione che come puoi vedere ho corretto.
Essendo $(ab)^(pq)=(a^p)^q(b^q)^p$ ma $a^p=e$ ,$b^q=e$ pertanto $(ab)^(pq)=e$ ed essendo $pq$ il $m.c.m$ esso é proprio
il più piccolo intero per cui si ha $(ab)^(pq)=e$ cioè l'ordine dell'elemento $ab$, ma $o(G)=pq$ quindi $ab$ genera tutto $G$.
Grazie per l'intervento, per quanto riguarda $(ab)^(pq)=a^pb^q$ come giustamente mi hai fatto notare si é trattato di un errore di digitazione che come puoi vedere ho corretto.
Essendo $(ab)^(pq)=(a^p)^q(b^q)^p$ ma $a^p=e$ ,$b^q=e$ pertanto $(ab)^(pq)=e$ ed essendo $pq$ il $m.c.m$ esso é proprio
il più piccolo intero per cui si ha $(ab)^(pq)=e$ cioè l'ordine dell'elemento $ab$, ma $o(G)=pq$ quindi $ab$ genera tutto $G$.
Rispondo ad 18eos.
Grazie per l'intervento il tuo esposto è perfetto, solo che mi ero proposto di risolvere il problema usando solo nozioni elementari
della teoria dei gruppi per cui avevo escluso teoremi più importanti come Sylow di cui conosco ancora appena solo l'enunciato.
Grazie per l'intervento il tuo esposto è perfetto, solo che mi ero proposto di risolvere il problema usando solo nozioni elementari
della teoria dei gruppi per cui avevo escluso teoremi più importanti come Sylow di cui conosco ancora appena solo l'enunciato.
Prego francicko, di nulla. 
P.S.: Evita quella "J" è proprio brutta oppure chiamami per nome, leggi sotto!
P.S.: Evita quella "J" è proprio brutta oppure chiamami per nome, leggi sotto!
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