Esercizio sui gruppi dei polinomi
Ho un esercizio che chiede di determinare l'insieme K tale K = Z/2Z. E questo è formato dalle classi resto 0 e 1.
Poi chiede di determinare l'insieme dei polinomi K[x] e questi sono del tipo K[x] = {0,1,x,x+1, x^2, x^2, x^2+1, X^2+x+1, ...}.
Ora chiede quali sono i polinomi irriducibili. Il professore suggerisce che x^2+1 ha soluzioni e quindi è riducibile. Perchè?
P.S.: come si mette l'apice?
Poi chiede di determinare l'insieme dei polinomi K[x] e questi sono del tipo K[x] = {0,1,x,x+1, x^2, x^2, x^2+1, X^2+x+1, ...}.
Ora chiede quali sono i polinomi irriducibili. Il professore suggerisce che x^2+1 ha soluzioni e quindi è riducibile. Perchè?
P.S.: come si mette l'apice?
Risposte
Per le formule ti basta mettere i simboli di dollaro intorno alla formula. Se guardi sopra il tuo messaggio trovi il link alla pagina delle formule.
Comunque la risposta all'ultima domanda dipende da \(K\).
Comunque la risposta all'ultima domanda dipende da \(K\).
Ok grazie. Correggo appena torno al computer.
Per la domanda, dipende da cosa?
Per la domanda, dipende da cosa?
Mi sono accorto che \(K = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). Intendevo che dipendeva dal campo preso in esame. Se un polinomio ha radici allora lo puoi scrivere come prodotto di polinomi di primo grado ed è quindi riducibile.
Nota che \(\displaystyle (x+1)^2 = x^2 + 2x+ 1 = x^2 + 0x + 1 = x^2 +1 \). Ti suggerisco di seguire questa strada.
Ovviamente sono irriducibili \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle x+1 \). A questo punto noti non sono irriducibili gli elementi dell'ideale \(\displaystyle (x) \) cioè tali che \(\displaystyle p(0) = 0 \) (il termine noto di ogni polinomio irriducibile tranne \(\displaystyle x \) deve essere \(\displaystyle 1 \).
Ora considera \(\displaystyle x^n + 1 \) con \(\displaystyle n>1 \). Si ha che \(\displaystyle 1^n = 1 \), e \(\displaystyle 1+1 = 2 = 0 \), perciò \(\displaystyle x^n + 1 \) non sono irriducibili.
Usando un principio simile ricavi che i coefficienti non nulli (i coefficienti possono essere solo \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \)) sono un numero dispari.
Ragiona sul fatto o meno che \(x^2 + x + 1\) sia irriducibile.
Nota che \(\displaystyle (x+1)^2 = x^2 + 2x+ 1 = x^2 + 0x + 1 = x^2 +1 \). Ti suggerisco di seguire questa strada.
Ovviamente sono irriducibili \(\displaystyle x \) e \(\displaystyle x+1 \). A questo punto noti non sono irriducibili gli elementi dell'ideale \(\displaystyle (x) \) cioè tali che \(\displaystyle p(0) = 0 \) (il termine noto di ogni polinomio irriducibile tranne \(\displaystyle x \) deve essere \(\displaystyle 1 \).
Ora considera \(\displaystyle x^n + 1 \) con \(\displaystyle n>1 \). Si ha che \(\displaystyle 1^n = 1 \), e \(\displaystyle 1+1 = 2 = 0 \), perciò \(\displaystyle x^n + 1 \) non sono irriducibili.
Usando un principio simile ricavi che i coefficienti non nulli (i coefficienti possono essere solo \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 1 \)) sono un numero dispari.
Ragiona sul fatto o meno che \(x^2 + x + 1\) sia irriducibile.
so già che non è riducibile: è un esercizio che ha "spiegato" il prof 
grazie per il tuo tempo vict85 =)
solo un'ultima domanda: anche il prof mi ha fatto vedere quella cosa del quadrato. Ma perchè ragionate così?
grazie per il tuo tempo vict85 =)
solo un'ultima domanda: anche il prof mi ha fatto vedere quella cosa del quadrato. Ma perchè ragionate così?
Risulta utile trovare la scomposizione in fattori dei polinomi.
mmm
In generale però determinare tutti gli irriducibili, anche se solo in caratteristica $2$, temo sia difficile. Possiamo dire che se hanno un numero pari di termini sono certamente riducibili (perché $1$ è una radice). Ma a volte sono riducibili anche se hanno numero dispari di termini, ad esempio $(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1$.
Ho fatto un po' di conti a mano (non proprio...ho dato tutto in pasto al pc) fino al grado $8$ per vedere se riuscivo a ricavare qualche schema da sfruttare, ma non ho notato niente di bello.
C'è forse qualche trucco carino da applicare?
In generale però determinare tutti gli irriducibili, anche se solo in caratteristica $2$, temo sia difficile. Possiamo dire che se hanno un numero pari di termini sono certamente riducibili (perché $1$ è una radice). Ma a volte sono riducibili anche se hanno numero dispari di termini, ad esempio $(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1$.
Ho fatto un po' di conti a mano (non proprio...ho dato tutto in pasto al pc) fino al grado $8$ per vedere se riuscivo a ricavare qualche schema da sfruttare, ma non ho notato niente di bello.
C'è forse qualche trucco carino da applicare?
Scusate ma io ancora non ho capito questa cosa degli irriducibili. Perchè scrivete il quadrato del polinomio per vedere se è riducibile? Mi mancano le basi, temo. Mi date un link per studiare?
Se un polinomio è il quadrato di un altro allora non è irriducibile. Non saprei comunque consigliarti qualche link: è passato molto da quando ho studiato queste cose.
Questo mi dispiace: mi piacerebbe non imparare a memoria. Almeno avresti idea di cosa cercare su Google?
Il professore non ha suggerito nulla? È un primo corso di algebra o è un corso specifico per gli anelli. Potresti immagino vederti Milne http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html
Ho scritto un quadrato solo per far vedere un esempio in cui un polinomio con un numero dispari di termini e' riducibile.
In generale, in un anello qualsiasi $A$, un elemento $a$ (non invertibile) si dice irriducibile se per ogni $b,c$ per cui $a = bc$ allora si ha che $b$ e' invertibile oppure $c$ e' invertibile.
In anelli di polinomi a coefficienti in campo (e in realta' anche con ipotesi molto piu' deboli) un elemento e' irriducibile se e solo se e' primo. Una definizione equivalente e' quindi che un elemento e' irriducibile se e solo se i suoi unici divisori sono ad esso associati oppure sono invertibili. Equivalentemente, $a$ e' irriducibile se e solo $a$ e' l'unico elemento che compare nella fattorizzazione di $a$. (Ogni riga di questo paragrafetto e' di fatto un teorema, che solitamente trova una dimostrazione, piu' o meno in generale, in qualunque testo di algebra).
Ora, se hai un polinomio a coefficienti in $\mathbb{Z}_2$, per capire se e' irriducibile possiamo cominciare a vedere come e' fatta la sua fattorizzazione. Gli elementi di grado $0$ sono invertibili. E' facile osservare che tutti gli elementi di grado $1$ sono irriducibili, perche' un eventuale fattore puo' avere solo grado $0$ o $1$ e quando ha grado $1$ non puo' essere un fattore proprio per la formula dei gradi. Se si va in grado $2$ le cose si complicano un pochino: abbiamo che $x^2$ e' riducibile perche' $x^2 = x \cdot x$. Siccome i coefficienti sono in $\mathbb{Z}_2$, si ha anche $x^2 + 1 = (x+1) \cdot (x+1)$ e quindi anche questo e' riducibile. L'unico altro polinomio di grado $2$ e' $x^2 + x +1$, che in effetti e' irriducibile.
Ora, cerchiamo di trovare qualche regola che vale in generale. Se un polinomio $f$ non ha termine noto, allora portando a fattor comune una $x$ otteniamo $f = xg$ per qualche altro polinomio $g$. Ora, se $f$ ha grado $1$, allora $f =x$ e quindi e' irriducibile. Se $f$ ha grado piu' grande di $1$, allora $x,g$ sono fattori non banali, e dunque $f$ e' riducibile.
Un teorema importante in questo contesto e' il Teorema di Ruffini, che ti dice che se un polinomio (a coefficienti in un dominio qualsiasi) ha una radice $c$ allora e' divisibile per $x-c$. E' facile osservare che se un polinomio a coefficienti in $\mathbb{Z}_2$ ha un numero pari di termini, allora $1$ e' una radice, e quindi il polinomio e' divisibile per $x+1$ (in $\mathbb Z _2$ piu' o meno non fanno differenza perche' $-1 = 1$). Ora, se il grado e' $1$, allora il nostro polinomio e' proprio $x+1$ e dunque e' irriducibile. Se il grado e' piu' grande di $1$, allora il nostro polinomio ha un fattore non banale $x+1$ e dunque e' riducibile.
Osserviamo quindi che un polinomio di grado almeno $2$, per essere irriducibile, deve necessariamente avere un numero dispari di termini, altrimenti e' divisibile per $x+1$.
Il mio esempio faceva vedere che pero' non tutti i polinomi con un numero dispari di termini sono irriducibili e mi chiedevo se ci fosse una regola carina per classificarli tutti.
In generale, in un anello qualsiasi $A$, un elemento $a$ (non invertibile) si dice irriducibile se per ogni $b,c$ per cui $a = bc$ allora si ha che $b$ e' invertibile oppure $c$ e' invertibile.
In anelli di polinomi a coefficienti in campo (e in realta' anche con ipotesi molto piu' deboli) un elemento e' irriducibile se e solo se e' primo. Una definizione equivalente e' quindi che un elemento e' irriducibile se e solo se i suoi unici divisori sono ad esso associati oppure sono invertibili. Equivalentemente, $a$ e' irriducibile se e solo $a$ e' l'unico elemento che compare nella fattorizzazione di $a$. (Ogni riga di questo paragrafetto e' di fatto un teorema, che solitamente trova una dimostrazione, piu' o meno in generale, in qualunque testo di algebra).
Ora, se hai un polinomio a coefficienti in $\mathbb{Z}_2$, per capire se e' irriducibile possiamo cominciare a vedere come e' fatta la sua fattorizzazione. Gli elementi di grado $0$ sono invertibili. E' facile osservare che tutti gli elementi di grado $1$ sono irriducibili, perche' un eventuale fattore puo' avere solo grado $0$ o $1$ e quando ha grado $1$ non puo' essere un fattore proprio per la formula dei gradi. Se si va in grado $2$ le cose si complicano un pochino: abbiamo che $x^2$ e' riducibile perche' $x^2 = x \cdot x$. Siccome i coefficienti sono in $\mathbb{Z}_2$, si ha anche $x^2 + 1 = (x+1) \cdot (x+1)$ e quindi anche questo e' riducibile. L'unico altro polinomio di grado $2$ e' $x^2 + x +1$, che in effetti e' irriducibile.
Ora, cerchiamo di trovare qualche regola che vale in generale. Se un polinomio $f$ non ha termine noto, allora portando a fattor comune una $x$ otteniamo $f = xg$ per qualche altro polinomio $g$. Ora, se $f$ ha grado $1$, allora $f =x$ e quindi e' irriducibile. Se $f$ ha grado piu' grande di $1$, allora $x,g$ sono fattori non banali, e dunque $f$ e' riducibile.
Un teorema importante in questo contesto e' il Teorema di Ruffini, che ti dice che se un polinomio (a coefficienti in un dominio qualsiasi) ha una radice $c$ allora e' divisibile per $x-c$. E' facile osservare che se un polinomio a coefficienti in $\mathbb{Z}_2$ ha un numero pari di termini, allora $1$ e' una radice, e quindi il polinomio e' divisibile per $x+1$ (in $\mathbb Z _2$ piu' o meno non fanno differenza perche' $-1 = 1$). Ora, se il grado e' $1$, allora il nostro polinomio e' proprio $x+1$ e dunque e' irriducibile. Se il grado e' piu' grande di $1$, allora il nostro polinomio ha un fattore non banale $x+1$ e dunque e' riducibile.
Osserviamo quindi che un polinomio di grado almeno $2$, per essere irriducibile, deve necessariamente avere un numero dispari di termini, altrimenti e' divisibile per $x+1$.
Il mio esempio faceva vedere che pero' non tutti i polinomi con un numero dispari di termini sono irriducibili e mi chiedevo se ci fosse una regola carina per classificarli tutti.
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