Esercizio sui gruppi ciclici
Ciao ragazzi avrei bisogno di un piccolo aiuto:
Mi é stato assegnato un esercizio che dice:
Si consideri nell'insieme G delle coppie ordinate di elementi di Z3 l'operazione così definita:
([x1],[x2])+([y1],[y2])=([x1+y1],[x2+y2])
provare che é un gruppo ciclico e determinare i sotto gruppi.
Svolgimento:
Poiché dalla traccia si evince che G é l'insieme delle coppie ordinate di Z3 si ha che:
G=Z3xZ3={(x,y) : x,y appartiene a Z3}
ovvero al prodotto cartesiano di Z3xZ3 con elementi di Z3.In sostanza gli elementi di G sono 9 e in particolare
{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}=G
con cardinalità 9.
In base al teorema sul prodotto tra gruppi ciclici si può affermare che Z3xZ3 solo se mcd (m,n)=1 tra Zm e Zn rispetto all'operazione di somma ?Ma nel mio caso é 3.
Inoltre se applico la definizione di gruppo ciclico dato un h compreso 1<=h<=9 dovrebbe esistere un g tale che G={ng :n>1} posto per convenzione 1*(1,1)=(1,1) poiché significa prendere l'elemento una sola volta rispetto all'operazione e lo devo fare per 9 vote?
ma io ho che mi trovo in Z3.Se faccio per es.
2*(1,1)=(1,1)+(1,1)=(2,2)
3*(1,1)=(0,0) etc
Mi é stato assegnato un esercizio che dice:
Si consideri nell'insieme G delle coppie ordinate di elementi di Z3 l'operazione così definita:
([x1],[x2])+([y1],[y2])=([x1+y1],[x2+y2])
provare che é un gruppo ciclico e determinare i sotto gruppi.
Svolgimento:
Poiché dalla traccia si evince che G é l'insieme delle coppie ordinate di Z3 si ha che:
G=Z3xZ3={(x,y) : x,y appartiene a Z3}
ovvero al prodotto cartesiano di Z3xZ3 con elementi di Z3.In sostanza gli elementi di G sono 9 e in particolare
{ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}=G
con cardinalità 9.
In base al teorema sul prodotto tra gruppi ciclici si può affermare che Z3xZ3 solo se mcd (m,n)=1 tra Zm e Zn rispetto all'operazione di somma ?Ma nel mio caso é 3.
Inoltre se applico la definizione di gruppo ciclico dato un h compreso 1<=h<=9 dovrebbe esistere un g tale che G={ng :n>1} posto per convenzione 1*(1,1)=(1,1) poiché significa prendere l'elemento una sola volta rispetto all'operazione e lo devo fare per 9 vote?
ma io ho che mi trovo in Z3.Se faccio per es.
2*(1,1)=(1,1)+(1,1)=(2,2)
3*(1,1)=(0,0) etc
Risposte
credo che nessuno si metterà a leggere se non scrivi con le formule appropriate.
io ci ho provato ma non so ancora cosa sono i gruppi ciclici....
"blackbishop13":
credo che nessuno si metterà a leggere se non scrivi con le formule appropriate.
Quoto
Sì hai ragione non è ciclico. Il teorema cinese del resto mi pare una buona prova di questo fatto.
Oppure dovresti far vedere che non esiste un elemento $(x,y) in ZZ_3 \times ZZ_3$ i cui multipli generino tutti gli elementi del gruppo $G$, non basta farlo vedere per $(1,1)$ dovresti farlo per tutti.
Inoltre considera che poichè il gruppo ha ordine $9$ se fosse ciclico dovrebbe avere un elemento di ordine $9$ e far vedere che questo non è possibile è abbastanza semplice.
Ora non ti resta che determinare i suoi sottogruppi
Oppure dovresti far vedere che non esiste un elemento $(x,y) in ZZ_3 \times ZZ_3$ i cui multipli generino tutti gli elementi del gruppo $G$, non basta farlo vedere per $(1,1)$ dovresti farlo per tutti.
Inoltre considera che poichè il gruppo ha ordine $9$ se fosse ciclico dovrebbe avere un elemento di ordine $9$ e far vedere che questo non è possibile è abbastanza semplice.
Ora non ti resta che determinare i suoi sottogruppi
mistake89 mi smentisce, e contro ogni previsione si mette a leggere l' illeggibile!!
ma io gli ricordo che c'è un regolamento, e bisgona incitare gli utenti poco esperti a usare le formule...
ma io gli ricordo che c'è un regolamento, e bisgona incitare gli utenti poco esperti a usare le formule...
Ciao ragazzi avrei bisogno di un piccolo aiuto:
Mi é stato assegnato un esercizio che dice:
Si consideri nell'insieme G delle coppie ordinate di elementi di $ Z3 $ l'operazione così definita:
$([x1],[x2])+([y1],[y2])=([x1+y1],[x2+y2])$
provare che é un gruppo ciclico e determinare i sottogruppi.
Svolgimento:
Poiché dalla traccia si evince che G é l'insieme delle coppie ordinate di Z3 si ha che:
$G=Z3xZ3={(x,y) : x,y in Z3}$
ovvero al prodotto cartesiano di Z3xZ3 con elementi di Z3.In sostanza gli elementi di G sono 9 e in particolare
${ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}=G $
con cardinalità 9.
In base al teorema sul prodotto tra gruppi ciclici si può affermare che Z3xZ3 solo se mcd (m,n)=1 tra Zm e Zn rispetto all'operazione di somma ?Ma nel mio caso é 3.
Inoltre se applico la definizione di gruppo ciclico dato un h compreso 1<=h<=9 dovrebbe esistere un g tale che G={ng :n>1} posto per convenzione 1*(1,1)=(1,1) poiché significa prendere l'elemento una sola volta rispetto all'operazione e lo devo fare per 9 vote?
ma io ho che mi trovo in Z3.Se faccio per es.
$2*(1,1)=(1,1)+(1,1)=(2,2) $
$3*(1,1)=(0,0)$ etc
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Mi é stato assegnato un esercizio che dice:
Si consideri nell'insieme G delle coppie ordinate di elementi di $ Z3 $ l'operazione così definita:
$([x1],[x2])+([y1],[y2])=([x1+y1],[x2+y2])$
provare che é un gruppo ciclico e determinare i sottogruppi.
Svolgimento:
Poiché dalla traccia si evince che G é l'insieme delle coppie ordinate di Z3 si ha che:
$G=Z3xZ3={(x,y) : x,y in Z3}$
ovvero al prodotto cartesiano di Z3xZ3 con elementi di Z3.In sostanza gli elementi di G sono 9 e in particolare
${ (0,0),(0,1),(0,2),(1,0), (1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)}=G $
con cardinalità 9.
In base al teorema sul prodotto tra gruppi ciclici si può affermare che Z3xZ3 solo se mcd (m,n)=1 tra Zm e Zn rispetto all'operazione di somma ?Ma nel mio caso é 3.
Inoltre se applico la definizione di gruppo ciclico dato un h compreso 1<=h<=9 dovrebbe esistere un g tale che G={ng :n>1} posto per convenzione 1*(1,1)=(1,1) poiché significa prendere l'elemento una sola volta rispetto all'operazione e lo devo fare per 9 vote?
ma io ho che mi trovo in Z3.Se faccio per es.
$2*(1,1)=(1,1)+(1,1)=(2,2) $
$3*(1,1)=(0,0)$ etc
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non so se il TCR va bene, perchè ti dà una condizione sufficiente, non necessaria per la ciclicità.
comunque sia, io direi che [tex]$\forall \left(a,b \right) \in \mathbb{Z}_3$[/tex] sia ha che gli ordini sono dati da [tex]$o \left( a,b \right) = mcm \left( o\left( a \right) , o\left(b \right) \right)$[/tex] e chiaramente tale [tex]$mcm$[/tex] non può che dividere [tex]$3$[/tex], e quindi non è mai [tex]$9$[/tex].
adesso come faresti a trovare i sottogruppi?
comunque sia, io direi che [tex]$\forall \left(a,b \right) \in \mathbb{Z}_3$[/tex] sia ha che gli ordini sono dati da [tex]$o \left( a,b \right) = mcm \left( o\left( a \right) , o\left(b \right) \right)$[/tex] e chiaramente tale [tex]$mcm$[/tex] non può che dividere [tex]$3$[/tex], e quindi non è mai [tex]$9$[/tex].
adesso come faresti a trovare i sottogruppi?
No Blackbishop è necessaria e sufficiente.
$ZZ_m \times ZZ_n \cong ZZ_(mn)$ se e solo se $(m,n)=1$ (controllando anche dai miei appunti per sicurezza!)
Comunque la tua seconda prova è sicuramente quella più adeguata!
$ZZ_m \times ZZ_n \cong ZZ_(mn)$ se e solo se $(m,n)=1$ (controllando anche dai miei appunti per sicurezza!)
Comunque la tua seconda prova è sicuramente quella più adeguata!
ah ok, mi ricordavo male, e in effetti è evidente, è proprio ciò che ho scritto nel caso particolare.
bravo mistake89, non sbagli mai un colpo!
bravo mistake89, non sbagli mai un colpo!
"blackbishop13":
bravo mistake89, non sbagli mai un colpo!
Eheh, magari! Ne sbaglio ancora un sacco!
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