Esercizio sui Gruppi ciclici
Buongiorno ragazzi volevo chiedere un aiuto su questo esercizio
Si consideri il gruppo Z/18Z rispetto alla somma di classi di resto. Si determini,per ciascun elemento, l’ordine e il sottogruppo ciclico che esso genera.
Al momento ho determinato l'ordine del gruppo e ho trovato come generatore <1>, inoltre grazie al Teorema di Lagrange ho come informazioni che i possibili sottogruppi sono di ordine (1,2,3,6,9,18), ed escludendo il gruppo di ordine 1 e 18 che sono rispettivamente l'identità e l'intero gruppo, mi rimangono da considerare solo i sottogruppi di ordine (2,3,6,9).
La mia domanda è come andare avanti con l'esercizio perchè con la notazione additiva non abbiamo mai fatto esercizi in aula e non ho un riscontro con cui poter valutare se ho capito o meno.
Si consideri il gruppo Z/18Z rispetto alla somma di classi di resto. Si determini,per ciascun elemento, l’ordine e il sottogruppo ciclico che esso genera.
Al momento ho determinato l'ordine del gruppo e ho trovato come generatore <1>, inoltre grazie al Teorema di Lagrange ho come informazioni che i possibili sottogruppi sono di ordine (1,2,3,6,9,18), ed escludendo il gruppo di ordine 1 e 18 che sono rispettivamente l'identità e l'intero gruppo, mi rimangono da considerare solo i sottogruppi di ordine (2,3,6,9).
La mia domanda è come andare avanti con l'esercizio perchè con la notazione additiva non abbiamo mai fatto esercizi in aula e non ho un riscontro con cui poter valutare se ho capito o meno.
Risposte
Ciao,
guarda se hai capito i concetti la notazione non deve spaventarti, ciò che "cambia" è questo: se nella notazione moltiplicativa con $x^n$ si indica il prodotto(inteso come operazione del gruppo) di $x$ ripetuto $n$ volte, in notazione additiva questa cosa diventa $nx$ e chiaramente $xy$ corrisponde a $x+y$ in notazione additiva, inoltre l'elemento neutro si indica con $0$.
Detto questo, un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico?
guarda se hai capito i concetti la notazione non deve spaventarti, ciò che "cambia" è questo: se nella notazione moltiplicativa con $x^n$ si indica il prodotto(inteso come operazione del gruppo) di $x$ ripetuto $n$ volte, in notazione additiva questa cosa diventa $nx$ e chiaramente $xy$ corrisponde a $x+y$ in notazione additiva, inoltre l'elemento neutro si indica con $0$.
Detto questo, un sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico?
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