Esercizio sui gruppi

[francicko]

Sia $G$ un gruppo abeliano finito,siano $x$,$y$ due elementi $inG$ di ordine rispettivamente $m$ ed $n$ dimostrare che esiste un elemento di ordine il $m.c.m.(m,n)$
Secondo me si deve costruire un tale elemento , qualcuno ha qualche suggerimento da darmi per la soluzione? Grazie!

[j18eos]

Provato con [tex]$xy$[/tex]?

[francicko]

Se risulta essere $ nn =e$ allora effettivamente $xy$ è l'elemento di ordine il $m.c.m$.

[j18eos]

Sia [tex]$p=m.c.m.(m;n)$[/tex] è [tex]$(xy)^p=e$[/tex] in virtù dell'abelianità di [tex]$G$[/tex]. Provalo!

[francicko]

Rispondo a j18eos.
Siano $x$ ed $y$ elementi di ordine rispettivamente $m$,ed $n$ di un gruppo $abeliano$ $G$. Sia $p=m.c.m(m,n)$ allora $(xy)^p=x^py^p=e$.
Se $p=2$ risulta $(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y$ ma $xy=yx$ sostituendo si ha $(xy)(xy)=x(xy)y=$$(x)(x)(yy)=x^2y^2$; quindi per $p=2$
l'asserzione è vera.
Supponiamo a questo punto l'asserzione vera per un generico naturale $n$ quindi $(xy)^n=x^ny^n $ allora dimostro che è vera per $n+1$. Infatti $(xy)^(n+1)=(xy)^n(xy)=x^ny^n(xy)=x^n(y^nx)y=x^n(xy^n)x=(x^nx)(y^ny)=x^(n+1)y^(n+1)$. A questo punto
le condizioni del principio di induzione sono soddisfatte pertanto l'asserzione è vera per ogni $n$.
Avendo dimostrato che $(xy)^p=x^py^p$ passo adesso a dimostrare che essendo $p=m.cm(m,n)$ risulta $(xy)^p=x^py^p=e$
infatti sarà:
$m|p$ implica $p=mk$ implica $(x^p)=(x^k)^m=(x^m)^k=(e)^k=e$

$n|p$ implica $p=nt$ implica $(y^p)=(y^t)^n=(y^n)^t=(e)^t=e$

Pertanto si ha $(xy)^p=x^py^p=ee=e$

[francicko]

Siano $x$ ed $y$ due elementi di un Gruppo $G$ $abeliano$ diversi dall'elemento neutro $e$ di ordine rispettivamente $m$ ed $n$
; allora esiste un elemento diverso dall'elemento neutro di ordine $p=m.cm(m,n)$.
Provo a darne una soluzione.
$1)$Se $ sube $ implica $o(x)|o(y)$per lagrange, e quindi $y$ è l'elemento di ordine $m.c.m$.
$2)$Se $ sube $ implica $o(y)|o(x)$ per lagrange, e quindi $x$ è l'elemento di ordine $m.c.m$.
Prendo adesso in considerazione i possibili casi che si possono verificare.
Sia $nn$ $=e$; so che $(xy)^p=e$, provo a prendere un intero $i$ tale che risulti $1<=i risulterà $x^i$ $!=e$ e/o $y^i$ $!=e$, supponiamo che sia $x^i!=e$, e si abbia $(xy)^i=e$, allora essendo $(xy)^i=x^iy^i=e$ ciò
implicherebbe $y^i!=e$ inoltre $y^i=(x^i)^-1=(x^(-1))^i$ ma allora risulta un elemento $y^i!=e$ che $innn$ $=e$ ,impossibile e
quindi $(xy)^i!=e$ per ogni $i$ compreso nell'intervallo $1<=i

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[blackbishop13]

francicko stai usando male la parole ordine.
l'elemento neutro di un gruppo ha ordine 1, fine.

poi non ti basta dimostrare che [tex]a^m=e[/tex] per dire che l'ordine di [tex]a[/tex] è [tex]m[/tex].

devi verificare la minimalità.
dacci la tua definizione di ordine perlomeno, perchè se no i tuoi esercizi perdono un pochino di significato.

[francicko]

Continuando.
Sia $in!=e$, inoltre pongo un altra condizione anche se superflua cioè che sia $x$ $!in$ $$ ed $y$ $!in$$$ al solo fine di non includere i casi$1)$ e $2)$ già sopra considerati.
In questo caso potrebbe verificarsi che risulti $(xy)^i=e$.E pertanto $xy$ non è l'elemento cercato.
Osservo innanzi tutto che la condizione $nn$ $!=e$ implica che il $M.C.D(m,n)=d!=1$ sempre per lagrange, la
condizione di uguaglianza $d=1$ ci riporterebbe al caso già trattato precedentemente cioè $nn$ $=e$. Quindi adesso non essendo $(xy)$ l'elemento cercato,l'unica possibilità è di ricercare due interi positivi $k<=m$ e $t<=n$ e tali che risulti $M.C.D(m//k,n//t)=1$ ed $p=m.c.m=(m//k)*(n//t)$ di modo che si abbia $nn$ $=e$ ed conseguentemente l'elemento $(x^ky^t)$ risulti di ordine $p$.
Il criterio per la ricerca di $k$ e $t$ potrebbe essere il seguente, cerco di esplicitarlo senza perdita di generalità con un esempio concreto.
Intanto tengo presente la definizione di $m.c.m$ di $m$ ed $n$ , esso risulta dal prodotto di fattori primi comuni e non comuni presi con il massimo esponente.
Esempio: sia $n=(2^3)(3^2)(5^4)(7^2)(11)(13)$ ed $m= (5^3)(2^4)(3)(7)(11^3)(17) $
i fattori che devono comporre $t$ sono $(2^3)$ ed $11$ cioè $t=(2^3)(11)$
i fattori che devono comporre $k$ sono $(5^3)$,$(3)$ e $(7)$ cioè $k=(5^3)(3)(7)$.
Conseguentemente $n//t=(3^2)(5^4)(7^2)(13)$ ed $m//k=(2^4)(11^3)(17)$.
Cosi facendo gli elementi $n//t$ ed $m//k$ non hanno fattori comuni quindi sono coprimi inoltre il loro prodotto è proprio il $m.c.m(m,n)$ pertanto l'elemento $(x^ty^k)$ risulta avere periodo il $m.c.m(m,n)$ .

[francicko]

Rispondo all'osservazione fattami da blackbishop13 per quanto riguarda l'ordine di un elemento.
Sia $G$ un gruppo e $g$ un elemento generico che vi appartiene, definisco $o(g)$ il più piccolo intero positivo(minimalità) $n$ per cui si ha $g^n=e$ con $e$ elemento neutro di $G$.

[francicko]

Se qualcuno vuol fare qualche osserazione riguardo all'esattezza o meno di quanto finora esposto, grazie!

[blackbishop13]

la mia osservazione è:
non si capisce niente di cosa tu voglia fare.
stai considerando dei sottocasi ininfluenti, non cambia nulla se [tex]x=e \lor y=e[/tex] l'enunciato si dimostra sempre allo stesso modo.
l'elemento che cerchi di ordine [tex]\text{mcm}\left(m,n\right)[/tex] è chiaramente [tex]xy[/tex]. devi solo dimostrare che il suo ordine è quello voluto cioè due cose in particolare devi dimostrare:
sia [tex]\text{mcm}\left(m,n\right)=p[/tex]

1. [tex]{\left( xy \right) }^p=e[/tex]
2. [tex]{\left( xy \right) }^k=e \Rightarrow p \mid k[/tex] che vuol dire verificare la minimalità di [tex]p[/tex]

tutto qui. rivedi come hai usato il concetto di ordine di un elemento, perché non poche volte hai fatto confusione in questi post

EDIT avevo confuso MCD con mcm, chiedo perdono. ma il significato era chiaro, e resta valido come prima.

[j18eos]

Solo ora mi sono collegato e vedo gli sviluppi!

@francicko La tua tua prima risposta al mio ultimo intervento è ineccepibile, ovvero hai già dimostrato il punto [tex]$1$[/tex] che ti ha indicato blackbishop13, resta solo da dimostrare il punto [tex]$2$[/tex] come blackbishop13 t'ha suggerito.

Ho scritto perché mi sento in dovere!

@blackbishop13 Veramente non interessa il MCD ma il mcm! Si capiscono gli acronimi?

[francicko]

L'esercizio proposto è preso dall'herstein, per la cui soluzione è richiesta solo conoscenze rudimentali sui gruppi.
E' possibile che abbia fatto qualche errore di digitazione e che sia stato poco chiaro in più di qualche punto nell'esposto,e me ne scuso
comunque ritengo che l'idea di fondo sia giusta.
Intanto io voglio dimostrare che esiste un elemento di ordine il $m.c.m$ tale elemento risulta essere effettivamente $xy$ nel caso in cui l'intersezione tra i sottogruppi generati rispettivamente dall'elemento $x$ e $y$ risulti uguale all'elemento neutro.
Per quanto risuarda la minimalità , io ho che $(xy)^p=e$ avendo dimostrato che per ogni intero positivo $i secondo me ne ho dimostrato la minimalità e quindi $p$ è l'ordine dell'elemento $xy$.
Nel caso in cui l'intersezione sia diversa dall'elemento neutro $(e)$ ,la questione si complica, e non necessariamente è $(xy)$ l'elemento cercato. Infatti se si considera ad esempio un gruppo ciclico di ordine $12$ generato dall'elemento $a$ si vede che
se vado a comporre $(a)(a^3)=(a^4)$ e l'elemento $a^4$ ha ordine $3$ che non risulta essere il $m.c.m=12$ mentre se prendo
$(a^4)$ ed $(a^3)$ si ha $(a^4)(a^3)=(a^7)$ ed $(a)^7$ ha ordine $m.c.m=12$ infatti $M.C.D(3,4)=1$, e infatti l'intersezione
dei sottogruppi generati da $(a^4)$ ed $(a^3)$ risulta uguale all'elemento neutro $(e)$, spero di essere stato chiaro , in attesa
di una vostra risposta vi invio cordiali saluti!

[j18eos]

@blackbishop Esagerato nel chiedere perdono!

@francicko Se fosse [tex]$x\in\langle y\rangle$[/tex] la soluzione sarebbe [tex]$y$[/tex]! Mentre per il caso opposto [tex]$x\not\in\langle y\rangle;\,y\not\in\langle x\rangle$[/tex] la soluzione resta [tex]$xy$[/tex], a meno che non abbia sbagliato qualcosa.

[francicko]

Rispondo a J18eos .
Ti invito a leggere più attentamente il mio esposto.
In sostanza io analizzo due casi :
1°)caso: se l'intersezione dei rispettivi gruppi ciclici $$ ed $$ di ordine rispettivamente $m$ ed $n$ risulta uguale ad $e$
allora posso asserire con certezza che $(xy)$ ha ordine il $m.c.m(m,n)$.
2°) caso: se l'intersezione dei rispettivi gruppi ciclici $$ ed $$ di ordine rispettivamente $m$ ed $n$ risulta diverso da $e$
allora l'elemento potrebbe non essere $(xy)$ ad avere ordine $m.c.m(m,n)$ in quanto potrebbe verificarsi che si abbia $(xy)^i$ $=e$
con $i Allora dato che nel 2°) caso non ho la certezza che sia l'elemento $(xy)$ devo andare alla ricerca di un altro elemento.
E' l'idea è quella di trovare altri due elementi apparenenti sempre ai sottogruppi generati rispettivamente da $$ e da $$ ma che non siano $x$ ed $y$, siano questi elementi $x^k$ ed $y^t$ adesso per poter asserire con certezza che l'elemento cercato è
$(x^ky^t)$ devo fare in modo che gli ordini $o(x^k)$ ed $o(y^t)$ risultino coprimi e quindi $nn$$=e$ cioè riportarmi al caso 1) e fare in modo che risulti $o(x^k)*o(x^t)=m.c.m(m,n)$
Pertanto ribadisco l'elemento cercato è $xy$ solo nel caso 1).
Nel caso 2) non è detto che sia $(xy)$. Spero di essere stato chiaro.

[j18eos]

Ti rispondo al punto 2°, senza cambiare la nomenclatura: volendo che [tex]$\langle x^k\rangle\cap\langle y^t\rangle=\{e\}$[/tex] devono essere per forza [tex]$\langle x^k\rangle<\langle x\rangle,\,\langle y^t\rangle<\langle y\rangle$[/tex] sicché l'ordine di [tex]$x^k$[/tex] divide [tex]$m$[/tex] e l'ordine di [tex]$y^t$[/tex] divide [tex]$n$[/tex]; quindi non si riesce in generale ad ottenere [tex]$o(x^k)o(y^t)=\mathrm{m.c.m.}(m;n)$[/tex].

EDIT: Ragionamento dubbio!

[francicko]

Rispondo a j18eos.
Secondo me si può generalizzare scegliendo opportunamente i fattori che compongono $m$ ed $n$.
Ti pongo questo semplice esempio come domanda.Sperando di poter chiarire il tutto.

Siano $x$ ed $y$ due elementi di ordine rispettivamente $m$ ed $n$ di un Gruppo abeliano $G$, sia inoltre

$m=p_1p_2p_3$ ed $n=p_1p_1$ e $p_1,p_2,p_3$ primi.

Adesso l'elemento $x^(p_1)$ ha ordine $p_2p_3$

l'elemento $y$ ha ordine $p_1p_1$

Ed ancora gli ordini di tali elementi sono coprimi ciòè $M.C.D(o(x^(p_1)),o(y))=1$ giusto? ed $o(x^(p_1))*o(y)=(p_2p_3)*(p_1p_1)$ giusto?

ma allora qual'é l'ordine dell'elemento $(x^(p_1)y)?$ inoltre non è $(p_2p_3)(p_1p_1)=m.c.m(m,n)?$

[j18eos]

Sbaglio o ti sei scelto un caso ad hoc in cui hai ragione? Io ho parlato in generale, ovvio che esistono casi particolari (come questo) in cui è corretta la tua idea.

Al di là di queste discussioni laterali, ammessa l'esattezza della soluzione che ti abbiamo suggerito io e blackbishop13: non si escludono altre soluzioni particolari per i vari singoli casi; infatti, il problema non parla dell'unicità della soluzione.

[francicko]

Rispondo ad j18eos.
Certamente , ci possono essere piu' elementi come soluzione e può benissimo succedere che l'elemento $xy$ non sia una soluzione.
Ti invito a prendere in considerazione questo altro esempio più generale ed osservare il criterio di scelta che perseguo.

Siano $m=p_1^4p_2^6p_3^7p_4p_7$ ed $n=p_1^3p_2^5p_3^8p_4p_13$ dove $p_1,p_2,p_3,p_4,p_7,p_13$ sono tutti primi distinti.

vado a costruire $m//k$:

scelgo come fattori quelli che sono fattori di $m$ e compaiono con il massimo esponente in $mn$ cioè: $p_1^4p_2^6p_4p_7$

pertanto risulta $k=p_3^7$ ed $o(x^k)=p_1^4p_2^6p_4p_7$

Analogamente vado a costruire $n//t$:

scelgo come fattori quelli che sono fattori di $n$ e compaiono con il massimo esponente in $mn$ che pero' non siano stati già scelti
precedentemente cioè : $p_3^8p_13$.Pertanto si ha $ t=p_1^3p_2^5p_4$ ed $o(y^t)=p_3^8p_13$.

L'elemento cercato di ordine $m.c.m$ è $(x^ky^t)$, in quanto $(o(x^k),o(y^t))=1$ implica $ nn $=$(e)$

Come si può vedere il criterio puo essere generalizzato quindi è sempre possibile trovare le
condizioni volute.
Inoltre se tu vuoi dimostrare il contrario devi trovare un controesempio per cui è impossibile realizzare la condizione richiesta!
in attesa di una risposta ti invio cordiali saluti.

[j18eos]

Ma chi vuole dimostrare il contrario! Non riesco a capire chi sono [tex]$k$[/tex] e [tex]$t$[/tex], ed inoltre ti stai complicando la vita senza nemmeno provare a confutare\confermare l'idea suggerita. -_-

[francicko]

Rispondo a J18eos.
Ho modificato il messaggio precedente spero che sia piu' chiaro.
Inoltre l'idea suggerita mi chiede di dimostrare che l'elemento cercato è $xy$.
Ma questo lo è certamente per il caso $nn$$=e$ e mi sembra di averlo già dimostrato in un post precedente.
Ma nel caso $nn!=e$ la certezza che sia $xy$ viene a cadere, come si puo' vedere sempre nello stesso post precedente, quindi
seguire il suggerimento che sia $xy$ in ogni caso mi sembra errato.
Secondo me i casi da analizzare sono i due suddetti e nessun altro.
Comunque grazie per la risposta.