Esercizio sui gruppi

[francicko]

Sia $G$ un gruppo abeliano finito,siano $x$,$y$ due elementi $inG$ di ordine rispettivamente $m$ ed $n$ dimostrare che esiste un elemento di ordine il $m.c.m.(m,n)$
Secondo me si deve costruire un tale elemento , qualcuno ha qualche suggerimento da darmi per la soluzione? Grazie!

[francicko]

Pongo questa precisa domanda , in modo da poter chiarire dove è il mio eventuale errore, sia $a$ un elemento appartenente ad un
gruppo $G$ allora se risulta che $a^m=e$ per un certo intero positivo $m$, certamente non posso asserire che $m$ è l'ordine(o periodo) dell'elemento $a$, ma se succede che per ogni intero positivo $t$ minore di $m$ risulta $a^t!=e$, posso asserire con certezza che l'ordine è proprio $m$, giusto?

[francicko]

Rispondo ad j18eos.
Propongo questo semplice ed illuminante esempio in modo da poter chiarire il tutto.
Sia $G$ un gruppo abeliano e siano $x$ ed $y$ con $x!=y$ due suoi elementi ambedue di ordine $6$.
Adesso se risulta $nn$ $=e$, allora l'elemento $xy$ risulta avere ordine $6$ cioè proprio il $m.c.m$ ed avrei finito.
Può verificarsi benissimo il caso che risulti $nn$ $!=e$, e nel caso risulti $x^3=y^3$, allora si avrebbe $nn$ $=e=x^3=y^3$, essendo questi elementi uguali e di ordine $2$ risulterà $(xy)^3=x^3y^3=e$ quindi se io vado a sostenere che l'elemento cercato deve essere $(xy)$ come mi è stato consigliato qui in un precedente post incorrerei in errore,giusto?
Quindi in generale l'elemento non risulta affatto essere $xy$.
Adesso però osservo che $o(x^2)=3$ , che $o(y^3)=2$, ma allora ho due elementi di ordine rispettivamente $3$ e $2$ con
$(3,2)=1$ quindi $m.c.m(3,2)=3*2=6$ pertanto posso concludere che un elemento cercato è $(x^2y^3)$che risulta così avere periodo $6$ pertanto si ha ($x^2y^3)^6=e$.Non voglio risultare polemico, lungi da me esserlo, e me ne scuso vivamente se ho dato questa impressione nei precedenti post , ho proposto questo esempio al semplice fine di mostrare che ciò che affermo non mi sembra essere del tutto errato;
nei precedenti post non ho fatto altro che provare a generalizzare questo esempio, manipolando opportunamente le scomposizioni in fattori degli ordini degli elementi, può darsi che abbia anche sbagliato ad utilizzare tale criterio, comunque l'idea di fondo come mostra questo esempio non mi sembra del tutto errata. Ringrazio anticipatamente ed attendo con fiducia un vostro intervento!

[Studente Anonimo]

Francicko, la tua idea e' giusta

Diciamo che [tex]x[/tex] ha ordine [tex]n[/tex] e [tex]y[/tex] ha ordine [tex]m[/tex] e diciamo che [tex]\text{m.c.m.}(n,m) = p_1^{a_1}...p_t^{a_t}[/tex] con [tex]p_1,...,p_t[/tex] primi distinti. Ordiniamo [tex]p_1,...,p_t[/tex] in modo tale che [tex]p_1^{a_1},...,p_k^{a_k}[/tex] dividano [tex]n[/tex] e [tex]p_{k+1}^{a_{k+1}}, ..., p_t^{a_t}[/tex] dividano [tex]m[/tex]. Allora si ha [tex]\langle x^{p_{k+1}^{b_{k+1}}...p_t^{b_t}} \rangle \cap \langle y^{p_1^{b_1}...p_k^{b_k}} \rangle = \{1\}[/tex], dove [tex]p_i^{b_i}[/tex] e' la massima potenza di [tex]p_i[/tex] che divide [tex]n[/tex] se [tex]i>k[/tex], che divide [tex]m[/tex] se [tex]i \leq k[/tex], e di conseguenza l'ordine di [tex]x^{p_{k+1}^{b_{k+1}}...p_t^{b_t}} \cdot y^{p_1^{b_1}...p_k^{b_k}}[/tex] e' [tex]p_1^{a_1}...p_k^{a_k} p_{k+1}^{a_{k+1}}...p_t^{a_t} = \text{m.c.m.}(n,m)[/tex].

Ti faccio un esempio con [tex]n=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2[/tex] e [tex]m=2 \cdot 3^3 \cdot 5^4 \cdot 7^2[/tex]. In questo caso l'elemento [tex]x^{3^2 \cdot 5^2} \cdot y^{2 \cdot 7^2}[/tex] ha ordine [tex](2^3 \cdot 7^2) \cdot (3^3 \cdot 5^4) = \text{m.c.m.}(n,m)[/tex].

[francicko]

Intanto la ringrazio per il suo intervento, il suo esposto mi ha ulteriormente chiarito la soluzione che rincorrevo.

[Studente Anonimo]

"francicko":Intanto la ringrazio per il suo intervento, il suo esposto mi ha ulteriormente chiarito la soluzione che rincorrevo.

No ti prego, cos'e' questo lei? dammi del tu !

[francicko]

"francicko":Rispondo a j18eos.
Siano $x$ ed $y$ elementi di ordine rispettivamente $m$,ed $n$ di un gruppo $abeliano$ $G$. Sia $p=m.c.m(m,n)$ allora $(xy)^p=x^py^p=e$.
Se $p=2$ risulta $(xy)^2=(xy)(xy)=x(yx)y$ ma $xy=yx$ sostituendo si ha $(xy)(xy)=x(xy)y=$$(x)(x)(yy)=x^2y^2$; quindi per $p=2$
l'asserzione è vera.
Supponiamo a questo punto l'asserzione vera per un generico naturale $n$ quindi $(xy)^n=x^ny^n $ allora dimostro che è vera per $n+1$. Infatti $(xy)^(n+1)=(xy)^n(xy)=x^ny^n(xy)=x^n(y^nx)y=x^n(xy^n)x=(x^nx)(y^ny)=x^(n+1)y^(n+1)$. A questo punto
le condizioni del principio di induzione sono soddisfatte pertanto l'asserzione è vera per ogni $n$.
Avendo dimostrato che $(xy)^p=x^py^p$ passo adesso a dimostrare che essendo $p=m.cm(m,n)$ risulta $(xy)^p=x^py^p=e$
infatti sarà:
$m|p$ implica $p=mk$ implica $(x^p)=(x^k)^m=(x^m)^k=(e)^k=e$

$n|p$ implica $p=nt$ implica $(y^p)=(y^t)^n=(y^n)^t=(e)^t=e$

Pertanto si ha $(xy)^p=x^py^p=ee=e$