Esercizio sui Gruppi
Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio sui gruppi di cui non conosco la soluzione.
Punto 1) Si determinino le radici ottave dell'unità. Dopo aver verificato che esse rispetto al prodotto di numeri complessi costituiscono un gruppo ciclico, si ponga $w$ un elemento che genera tale gruppo (cioè una radice "primitiva" dell'unità).
Per quanto riguarda la determinazione delle radici ottave dell'unità, dovrebbe essere abbastanza semplice.
Esse sono: $\zeta = \zeta_8 = cos (2*\pi)/8 + i*sin(2*\pi)/8) = 1/sqrt((2)) + i*1/sqrt((2))$
quindi:
$\zeta_8 = {\pm1; \pmi;\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
Tuttavia non riesco a capire l'esercizio quando afferma "Dopo aver verificato ........"
Non riesco a capire cosa dovrei dimostrare.
Grazie in anticipo a tutti.
Punto 1) Si determinino le radici ottave dell'unità. Dopo aver verificato che esse rispetto al prodotto di numeri complessi costituiscono un gruppo ciclico, si ponga $w$ un elemento che genera tale gruppo (cioè una radice "primitiva" dell'unità).
Per quanto riguarda la determinazione delle radici ottave dell'unità, dovrebbe essere abbastanza semplice.
Esse sono: $\zeta = \zeta_8 = cos (2*\pi)/8 + i*sin(2*\pi)/8) = 1/sqrt((2)) + i*1/sqrt((2))$
quindi:
$\zeta_8 = {\pm1; \pmi;\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
Tuttavia non riesco a capire l'esercizio quando afferma "Dopo aver verificato ........"
Non riesco a capire cosa dovrei dimostrare.
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Ti si chiede di dimostrare che
$\zeta_8 = {\pm1; \pmi;\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
dotato dell'operazione di moltiplicazione tra numeri complessi, costituisce un gruppo, e che è addirittura un gruppo ciclico, quindi frai suoi elementi ce n'è uno che lo genera.
Non so se era questa la tua perplessità.
$\zeta_8 = {\pm1; \pmi;\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
dotato dell'operazione di moltiplicazione tra numeri complessi, costituisce un gruppo, e che è addirittura un gruppo ciclico, quindi frai suoi elementi ce n'è uno che lo genera.
Non so se era questa la tua perplessità.
Innanzi tutto grazie.
Ho riflettuto su quanto richiesto. Ed allora ho ipotizzato che si chiedesse appunto di dimostrare che $\zeta_8$ è un gruppo ciclico.
Facendo dei calcoli ho notato che per esempio $\zeta_8^3$ $*$ $\zeta_8^5$ $=$ $\zeta_8^1$, iterando il procedimento per qualsiasi elemento di $\zeta_8$ ottengo sempre una radice ennesima di $\zeta_8$, affinchè $\zeta_8$ sia anche un gruppo ciclico devo trovare un generatore. I generatori sono tutte quelli per cui $g^m != 1$ con $m
Devo trovare gli zeri della funzione $f(x) = x^8-1$?
Se fosse così le radici primitive dell'unità sarebbero $\pm 1$
e quindi $w = \pm1$ ??
E' giusto quanto da me scritto?
Grazie
Ho riflettuto su quanto richiesto. Ed allora ho ipotizzato che si chiedesse appunto di dimostrare che $\zeta_8$ è un gruppo ciclico.
Facendo dei calcoli ho notato che per esempio $\zeta_8^3$ $*$ $\zeta_8^5$ $=$ $\zeta_8^1$, iterando il procedimento per qualsiasi elemento di $\zeta_8$ ottengo sempre una radice ennesima di $\zeta_8$, affinchè $\zeta_8$ sia anche un gruppo ciclico devo trovare un generatore. I generatori sono tutte quelli per cui $g^m != 1$ con $m
Devo trovare gli zeri della funzione $f(x) = x^8-1$?
Se fosse così le radici primitive dell'unità sarebbero $\pm 1$
e quindi $w = \pm1$ ??
E' giusto quanto da me scritto?
Grazie
No.
E il problema è facilmente generalizzabile. Direi che il modo più semplice è questo:
sia [tex]\mu_n = \{w \in \mathbb{C} : w^n = 1\}[/tex] l'insieme delle radici [tex]n[/tex]-esime dell'unità. Palesemente, [tex]\mu_n \ne \emptyset[/tex]. Se poi [tex]w, z \in \mu_n[/tex] allora [tex](wz^{-1})^n = w^n z^{-n} = (z^n)^{-1} = 1[/tex], sicché [tex]wz^{-1} \in \mu_n[/tex] e quindi [tex]\mu_n[/tex] è un sottogruppo finito di [tex]\mathbb{C}^\times[/tex]. Poi, visto che [tex]\mathbb{C}[/tex] è un campo, allora ogni sottogruppo finito del suo gruppo moltiplicativo è un gruppo ciclico da cui la tesi.
Per inciso, poi [tex]1[/tex] non può essere una radice n-esima primitiva e [tex]-1[/tex] è primitiva se e solo se n = 2. In generale ci saranno sempre esattamente [tex]\varphi(n)[/tex] radici n-esime primitive e possiamo anche darne una rappresentazione esplicita: [tex]\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})[/tex] per tutti i k tali che [tex]\mbox{gcd}(k,n) = 1[/tex].
E il problema è facilmente generalizzabile. Direi che il modo più semplice è questo:
sia [tex]\mu_n = \{w \in \mathbb{C} : w^n = 1\}[/tex] l'insieme delle radici [tex]n[/tex]-esime dell'unità. Palesemente, [tex]\mu_n \ne \emptyset[/tex]. Se poi [tex]w, z \in \mu_n[/tex] allora [tex](wz^{-1})^n = w^n z^{-n} = (z^n)^{-1} = 1[/tex], sicché [tex]wz^{-1} \in \mu_n[/tex] e quindi [tex]\mu_n[/tex] è un sottogruppo finito di [tex]\mathbb{C}^\times[/tex]. Poi, visto che [tex]\mathbb{C}[/tex] è un campo, allora ogni sottogruppo finito del suo gruppo moltiplicativo è un gruppo ciclico da cui la tesi.
Per inciso, poi [tex]1[/tex] non può essere una radice n-esima primitiva e [tex]-1[/tex] è primitiva se e solo se n = 2. In generale ci saranno sempre esattamente [tex]\varphi(n)[/tex] radici n-esime primitive e possiamo anche darne una rappresentazione esplicita: [tex]\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})[/tex] per tutti i k tali che [tex]\mbox{gcd}(k,n) = 1[/tex].
ok. Ho capito.
Una cosa sola $k$ è compreso tra $1 e n-1$?
Grazie ancora
Una cosa sola $k$ è compreso tra $1 e n-1$?
Grazie ancora
Volendo, sì. Ma ti faccio osservare che se al posto di [tex]k[/tex] prendiamo [tex]k + hn[/tex] otteniamo
[tex]\cos(\frac{2(k+hn)\pi}{n} + i \sin(\frac{2(k+hn)\pi}{n}) = \cos(\frac{2k\pi}{n} + 2h\pi) + i \sin(\frac{2k\pi}{n} + 2h\pi)[/tex]
[tex]=\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})[/tex]
e quindi non è strettamente necessario chiedere [tex]0 \le k \le n-1[/tex] (però aiuta a trovare tutte quelle distinte).
P.S. Prima ero di malumore e mi rendo conto di essere stato un po' brusco. Quando dico
ti è tutto chiaro? Hai visto da qualche parte questo teorema?
[tex]\cos(\frac{2(k+hn)\pi}{n} + i \sin(\frac{2(k+hn)\pi}{n}) = \cos(\frac{2k\pi}{n} + 2h\pi) + i \sin(\frac{2k\pi}{n} + 2h\pi)[/tex]
[tex]=\cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})[/tex]
e quindi non è strettamente necessario chiedere [tex]0 \le k \le n-1[/tex] (però aiuta a trovare tutte quelle distinte).
P.S. Prima ero di malumore e mi rendo conto di essere stato un po' brusco. Quando dico
"maurer":
Poi, visto che [tex]\mathbb{C}[/tex] è un campo, allora ogni sottogruppo finito del suo gruppo moltiplicativo è un gruppo ciclico da cui la tesi
ti è tutto chiaro? Hai visto da qualche parte questo teorema?
Ciao in merito alla comprensione del quesito, ho capito perchè le radici 8 dell'unità sono un gruppo, per essere ciclico deve esserci un generatore del gruppo.
Tralasciando, per il momento il motivo per cui un sottogruppo di un gruppo ciclico è ancora ciclico, non riesco a capire come la radice primitiva (generatore) genera appunto il gruppo.
Se $-1$ è una radice primitiva delle radici ottave dell'unità come fa a generare le altre.
Si potrebbe fare un'esempio concreto.
Grazie
Tralasciando, per il momento il motivo per cui un sottogruppo di un gruppo ciclico è ancora ciclico, non riesco a capire come la radice primitiva (generatore) genera appunto il gruppo.
Se $-1$ è una radice primitiva delle radici ottave dell'unità come fa a generare le altre.
Si potrebbe fare un'esempio concreto.
Grazie
Cominciamo dal fatto che il gruppo $\zeta_8^n$ è un gruppo ciclico se esiste un generatore tale che genera tutti i componenti di $\zeta_8^n$. Nel caso delle radici dell'unità tale generatore si chiama radice primitiva ennesima dell'unità. Le radici primitive dell'unità sono quelle coprime con $n$ nel caso $\varphi(8) = 4$. Le radici primitive ottave dell'unità sono $\zeta_8^n ={\zeta_8^1;\zeta_8^3;\zeta_8^5;\zeta_8^7}$, si mostra subito che la moltiplicazione delle radici primitive tra di loro genera elementi $w in \zeta_8^n$. Pertanto $\zeta_8^n$ è un gruppo ciclico.
Per dirla meglio sia $w^n$ la radice primitiva ennesima dell'unità vale che $(w^n) sube \zeta_8^n$ e $\zeta_8^n sube (w^n)$ $ => (w^n) = \zeta_8^n$
Quindi ho sbagliato a citare $-1$ come radice di $\zeta_8^n$, esse sono $\zeta = \zeta_8 = {\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
PS
Si effettivamente sconosco la motivazione per cui un sottogruppo di un Campo è ciclico. Sono solo a conoscenza del lemma che afferma che il sottogruppo di un gruppo ciclico è ancora ciclico.
Per dirla meglio sia $w^n$ la radice primitiva ennesima dell'unità vale che $(w^n) sube \zeta_8^n$ e $\zeta_8^n sube (w^n)$ $ => (w^n) = \zeta_8^n$
Quindi ho sbagliato a citare $-1$ come radice di $\zeta_8^n$, esse sono $\zeta = \zeta_8 = {\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
PS
Si effettivamente sconosco la motivazione per cui un sottogruppo di un Campo è ciclico. Sono solo a conoscenza del lemma che afferma che il sottogruppo di un gruppo ciclico è ancora ciclico.
Perchè?
$\varphi(8) = 4$ ti dice che ci sono quattro generatori nel tuo gruppo e non che il gruppo è costituito da $4$ elementi.
Spero fosse questo il tuo dubbio. Ciao
"emanuele78":
Quindi ho sbagliato a citare $-1$ come radice di $\zeta_8^n$, esse sono $\zeta = \zeta_8 = {\pm(1+i)/sqrt((2));\pm(1-i)/sqrt((2))}$
$\varphi(8) = 4$ ti dice che ci sono quattro generatori nel tuo gruppo e non che il gruppo è costituito da $4$ elementi.
Spero fosse questo il tuo dubbio. Ciao
Il mio dubbio era capire perchè il gruppo delle radici ennesime dell'unità fosse anche ciclico. Esiste un Teorema sui sottogruppi finiti di un Campo, ma io non lo conosco. Tuttavia ci sono arrivato da un'altra strada spero sia corretta.
Ho sbagliato nel considerare $-1$ quale generatore di $\zeta_8^n$.
Grazie per il contributo
Ho sbagliato nel considerare $-1$ quale generatore di $\zeta_8^n$.
Grazie per il contributo
Allora... un po' d'ordine.
Supponiamo che [tex]C = \langle g \rangle[/tex] sia un gruppo ciclico finito di ordine n. Consideriamo il generico elemento di C, [tex]g^k[/tex]. Il suo periodo è allora [tex]\frac{n}{\mbox{MCD}(n,k)}[/tex]. Quindi tutti e soli i generatori sono della forma [tex]g^k[/tex] con [tex]\mbox{MCD}(n,k) = 1[/tex].
Quindi ti dovrebbe solo rimanere il problema di determinare una radice primitiva. Scriviamo le radici primitive dell'unità come [tex]e^{i\frac{2k\pi}{n}}[/tex]. Ora, quale valore di $k$ può generare tutti le altre radici? Per come si moltiplicano tra loro i numeri complessi, mi sembra ovvio che [tex]k = 1[/tex] sia un valore soddisfacente. Poi le altre le trovi come ho detto io... Questo procedimento mostra anche che le radici n-esime dell'unità (complesse) formano un sottogruppo ciclico di [tex]C^\times[/tex]. Il risultato di cui avevo parlato è valido, ma effettivamente in questo caso è come usare un cannone...
Supponiamo che [tex]C = \langle g \rangle[/tex] sia un gruppo ciclico finito di ordine n. Consideriamo il generico elemento di C, [tex]g^k[/tex]. Il suo periodo è allora [tex]\frac{n}{\mbox{MCD}(n,k)}[/tex]. Quindi tutti e soli i generatori sono della forma [tex]g^k[/tex] con [tex]\mbox{MCD}(n,k) = 1[/tex].
Quindi ti dovrebbe solo rimanere il problema di determinare una radice primitiva. Scriviamo le radici primitive dell'unità come [tex]e^{i\frac{2k\pi}{n}}[/tex]. Ora, quale valore di $k$ può generare tutti le altre radici? Per come si moltiplicano tra loro i numeri complessi, mi sembra ovvio che [tex]k = 1[/tex] sia un valore soddisfacente. Poi le altre le trovi come ho detto io... Questo procedimento mostra anche che le radici n-esime dell'unità (complesse) formano un sottogruppo ciclico di [tex]C^\times[/tex]. Il risultato di cui avevo parlato è valido, ma effettivamente in questo caso è come usare un cannone...
Grazie ancora delle precisazioni.
Il fatto è che non dominando ancora la materia, necessito di esempi concreti. Ho intuito che nelle tue considerazioni hai utilizzato concetti generali, che ho investigato. Tuttavia come ho già detto per una comprensione totale ho bisogno di un esempio.
Così per esempio solo adesso capisco quando dici che $k=1$ è un valore soddisfacente.
Vorrei infine sapere se quanto ho scritto io per dimostrare che $\zeta_8^n$ è un gruppo ciclico può andar bene.
In ogni caso grazie ancora.
Il fatto è che non dominando ancora la materia, necessito di esempi concreti. Ho intuito che nelle tue considerazioni hai utilizzato concetti generali, che ho investigato. Tuttavia come ho già detto per una comprensione totale ho bisogno di un esempio.
Così per esempio solo adesso capisco quando dici che $k=1$ è un valore soddisfacente.
Vorrei infine sapere se quanto ho scritto io per dimostrare che $\zeta_8^n$ è un gruppo ciclico può andar bene.
In ogni caso grazie ancora.
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