Esercizio sui gruppi
Scusate voglio togliermi un pò di dubbi circa questo esercizio. Mi dite se ci sono errori?
Sia $G=S_4$. Determinare i sylow di $G$, e classificarli. Determinare inoltre tutti gli omomorfismi di $H \to Q$ ove $H$ è un 2-sylow è $Q$ il gruppo dei quaternioni.
Allora $|S_4|=24=2^3*3$, pertanto esistono un 2-sylow $H$ di ordine $8$ ed un 3-sylow $K$. Il loro numero può essere rispettivamente ${1,3}$, ${1,4}$.
Il realtà $S_4$ è un gruppo piccolo quindi è facile vedere che ci sono $3$ 2-sylow e $4$ 3-sylow.
Sicuramente $K \cong ZZ_3$, ove un generatore è uno qualsiasi dei 3-cicli. $H$ invece non è abeliano, ha pertanto centro di ordine $2$ e potrà essere isomorfo o a $D_4$ o a $Q$. Poiché $H$ contiene più di 2 elementi di ordine $2$ esso sarò isomorfo a $D_4$.
Scrivo un 2-sylow
$H:{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)}$
Sappiamo che i sottogruppi normali di $H$ sono $H':{id,(14)(23),(1234),(1432)}$, un gruppo isomorfo al gruppo di Klein, il centro, e i due banali.
Pertanto questi saranno i possibili nuclei del nostro omomorfismo.
Con nucleo ${1}$ non ce ne sono altrimenti sarebbe $D_4 \cong Q$; con nucleo $H$ abbiamo l'omomorfismo banale.
Con nucleo $V$ o $H'$ abbiamo che $H//V$ è isomorfo a $ZZ_2$ pertanto verrà mandato $[1]_2$ nell'unico elemento di tale periodo di $Q$, ovvero $-id$.
Con nucleo $Z(H)$ si ha $|H//Z(H)|=4$. Osservo per che $sigma^2Z=Z,tau^2Z=Z$, pertanto posso affermare che esso è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Con tale nucleo non esistono omomorfismi.
Dove sta l'errore?
Grazie mille!
Sia $G=S_4$. Determinare i sylow di $G$, e classificarli. Determinare inoltre tutti gli omomorfismi di $H \to Q$ ove $H$ è un 2-sylow è $Q$ il gruppo dei quaternioni.
Allora $|S_4|=24=2^3*3$, pertanto esistono un 2-sylow $H$ di ordine $8$ ed un 3-sylow $K$. Il loro numero può essere rispettivamente ${1,3}$, ${1,4}$.
Il realtà $S_4$ è un gruppo piccolo quindi è facile vedere che ci sono $3$ 2-sylow e $4$ 3-sylow.
Sicuramente $K \cong ZZ_3$, ove un generatore è uno qualsiasi dei 3-cicli. $H$ invece non è abeliano, ha pertanto centro di ordine $2$ e potrà essere isomorfo o a $D_4$ o a $Q$. Poiché $H$ contiene più di 2 elementi di ordine $2$ esso sarò isomorfo a $D_4$.
Scrivo un 2-sylow
$H:{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)}$
Sappiamo che i sottogruppi normali di $H$ sono $H':{id,(14)(23),(1234),(1432)}$, un gruppo isomorfo al gruppo di Klein, il centro, e i due banali.
Pertanto questi saranno i possibili nuclei del nostro omomorfismo.
Con nucleo ${1}$ non ce ne sono altrimenti sarebbe $D_4 \cong Q$; con nucleo $H$ abbiamo l'omomorfismo banale.
Con nucleo $V$ o $H'$ abbiamo che $H//V$ è isomorfo a $ZZ_2$ pertanto verrà mandato $[1]_2$ nell'unico elemento di tale periodo di $Q$, ovvero $-id$.
Con nucleo $Z(H)$ si ha $|H//Z(H)|=4$. Osservo per che $sigma^2Z=Z,tau^2Z=Z$, pertanto posso affermare che esso è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Con tale nucleo non esistono omomorfismi.
Dove sta l'errore?
Grazie mille!
Risposte
Nessun vuol dargli un'occhiata? 
Faccio il cattivo... Ma proprio da professore in giornata no 
Ti ho aggiunto una parole utile...
Riguardo all'ultima frase era meglio se motivavi di più. Comunque che i $3$-Sylow sono $4$ è ovvio perché li puoi enumerare. Un po' meno ovvio che i $2$-Sylow siano $3$. Comunque può andare anche bene così.
Motivare un po'? Perché $H$ non è abeliano? Perché ha centro di ordine $2$? Può andare dire che è uno o l'altro ma anche per quello forse bisognerebbe spenderci un po' di paroline... Perché deve contenere più di due elementi di ordine 2? 
Sappiamo? Beh, forse qualcosa come notiamo o osserviamo era più appropriato. Stai dimostrando, sappiamo fa riferimento a conoscenze pregresse mentre in questo caso fai riferimento a qualcosa che è facilmente calcolabile.
Io di gruppo banale ne conosco soltanto 1, avresti dovuto scrivere il gruppo banale e $H$ stesso. Oppure scrivere che i sottogruppi normali propri non banali di $H$ sono...
Comunque per tua sfortuna $H$ possiede 4 sottogruppi normali propri non banali: il centro, quello ciclico e 2 isomorfi al gruppo di Klein. http://www.dm.unibo.it/~verardi/gruppoD4.pdf
Leggi sopra...
"mistake89":
Scusate voglio togliermi un pò di dubbi circa questo esercizio. Mi dite se ci sono errori?
Sia $G=S_4$. Determinare i sylow di $G$, e classificarli. Determinare inoltre tutti gli omomorfismi di $H \to Q$ ove $H$ è un 2-sylow è $Q$ il gruppo dei quaternioni.
Allora $|S_4|=24=2^3*3$, pertanto esistono almeno un 2-sylow $H$ di ordine $8$ ed un 3-sylow $K$ di ordine 3. Il loro numero può essere rispettivamente ${1,3}$, ${1,4}$.
Il realtà $S_4$ è un gruppo piccolo quindi è facile vedere che ci sono $3$ 2-sylow e $4$ 3-sylow.
Ti ho aggiunto una parole utile...
Riguardo all'ultima frase era meglio se motivavi di più. Comunque che i $3$-Sylow sono $4$ è ovvio perché li puoi enumerare. Un po' meno ovvio che i $2$-Sylow siano $3$. Comunque può andare anche bene così."mistake89":
Sicuramente $K \cong ZZ_3$, ove un generatore è uno qualsiasi dei 3-cicli. $H$ invece non è abeliano, ha pertanto centro di ordine $2$ e potrà essere isomorfo o a $D_4$ o a $Q$. Poiché $H$ contiene più di 2 elementi di ordine $2$ esso sarò isomorfo a $D_4$.
Motivare un po'? Perché $H$ non è abeliano? Perché ha centro di ordine $2$? Può andare dire che è uno o l'altro ma anche per quello forse bisognerebbe spenderci un po' di paroline...
Perché deve contenere più di due elementi di ordine 2? "mistake89":
Scrivo un 2-sylow
$H:{id,(12)(34),(13)(24),(14)(23),(1234),(1432),(13),(24)}$
Sappiamo che i sottogruppi normali di $H$ sono $H':{id,(14)(23),(1234),(1432)}$, un gruppo isomorfo al gruppo di Klein, il centro, e i due banali.
Pertanto questi saranno i possibili nuclei del nostro omomorfismo.
Sappiamo? Beh, forse qualcosa come notiamo o osserviamo era più appropriato. Stai dimostrando, sappiamo fa riferimento a conoscenze pregresse mentre in questo caso fai riferimento a qualcosa che è facilmente calcolabile.
Io di gruppo banale ne conosco soltanto 1, avresti dovuto scrivere il gruppo banale e $H$ stesso. Oppure scrivere che i sottogruppi normali propri non banali di $H$ sono...
Comunque per tua sfortuna $H$ possiede 4 sottogruppi normali propri non banali: il centro, quello ciclico e 2 isomorfi al gruppo di Klein. http://www.dm.unibo.it/~verardi/gruppoD4.pdf
"mistake89":
Con nucleo ${1}$ non ce ne sono altrimenti sarebbe $D_4 \cong Q$; con nucleo $H$ abbiamo l'omomorfismo banale.
Con nucleo $V$ o $H'$ abbiamo che $H//V$ è isomorfo a $ZZ_2$ pertanto verrà mandato $[1]_2$ nell'unico elemento di tale periodo di $Q$, ovvero $-id$.
Con nucleo $Z(H)$ si ha $|H//Z(H)|=4$. Osservo per che $sigma^2Z=Z,tau^2Z=Z$, pertanto posso affermare che esso è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Con tale nucleo non esistono omomorfismi.
Dove sta l'errore?
Grazie mille!
Leggi sopra...
Innanzitutto ti ringrazio, anche per aver fatto "il cattivo", perché ne ho bisogno.
Ti ringrazio anche per la piccola dispensa su $D_4$, purtroppo l'altro gruppo isomorfo al gruppo di klein mi era proprio sfuggito.
La parte sugli omomorfismi, al di là del secondo del gruppo non ciclico che non ho considerato, presenta qualche errore?
Grazie ancora!
Ti ringrazio anche per la piccola dispensa su $D_4$, purtroppo l'altro gruppo isomorfo al gruppo di klein mi era proprio sfuggito.
La parte sugli omomorfismi, al di là del secondo del gruppo non ciclico che non ho considerato, presenta qualche errore?
Grazie ancora!
"mistake89":
Con nucleo ${1}$ non ce ne sono altrimenti sarebbe $D_4 \cong Q$; con nucleo $H$ abbiamo l'omomorfismo banale.
ok
"mistake89":
Con nucleo $V$ o $H'$ abbiamo che $H//V$ è isomorfo a $ZZ_2$ pertanto verrà mandato $[1]_2$ nell'unico elemento di tale periodo di $Q$, ovvero $-id$.
Chiamalo pure $-1$. In fondo quando si dice gruppo dei quaternioni si ha in mente una sua particolare presentazione.
"mistake89":
Con nucleo $Z(H)$ si ha $|H//Z(H)|=4$. Osservo per che $sigma^2Z=Z,tau^2Z=Z$, pertanto posso affermare che esso è isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$.
Con tale nucleo non esistono omomorfismi.
Dove sta l'errore?
Grazie mille!
Mi sembra tutto ok. Non ci sono sottogruppi di $Q_8$ isomorfi a $Z_2\times Z_2$
Perfetto Vict. Ti ringrazio moltissimo
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