Esercizio sui campi

[Edhel1]

Salve a tutti,
non so proprio come risolvere l' esercizio seguente
Siano f := $ (x)^(3) +x+5 $ e g := $ (x)^(3) +2(x)^(2) +2x+2 $ due polinomi a coefficienti in |F7 e siano I=(x−3,f) e J=(x−3,g).
(1) Stabilire se gli ideali I e J sono ideali primi;
(2) Scomporre il polinomio fg nel prodotto di fattori irriducibili in F7[x].
Non riesco innanzitutto a capire cosa sia |F7, e come si risolvano gli esercizi di questo genere.
Ringrazio anticipatamente!

[j18eos]

Con [tex]$\mathbb{F}_7$[/tex] si indica il campo di ordine [tex]$7$[/tex], altri simboli sono [tex]$\mathbb{Z}_7;\,\mathrm{GF}(7)$[/tex].

Inizia a determinare gl'ideali, cioè: quali polinomi di [tex]$\mathbb{F}_7[x]$[/tex] sono in [tex]$I$[/tex] ed in [tex]$J$[/tex]?

[Edhel1]

Non dovrebbero essere i polinomi del tipo: $ k(x-3)+ h((x)^(3) + x+ 5) $ quelli che sono contenuti in I e quelli in J del tipo : $ l(x-3)+ m((x)^(3) +2(x)^(2)+ 2x+ 2) $ ?? Aiuto, scusa ma algebra proprio non la capisco, e domani ho esame!

[j18eos]

C'è un teorema che ti assicura che [tex]$I$[/tex] è un ideale primo se e solo se è [tex]$\mathbb{F}_7[X]/I$[/tex] un dominio d'integrità, analogo procedimento per [tex]$J$[/tex]. Prova così; e sappi che non ho mai sostenuto un esame scritto di algebra, quindi non saprei se ciò fosse la maniera più rapida per risolvere il primo quesito!

[Edhel1]

Cercando di svolgere l'esercizio in $ ZZ / ZZ 7 $ allora ho trovato che $ f= (x-3)(x-1)(x+4) $ e quindi in questo caso l' ideale $ I $ sarebbe $ I= (x-3, (x)^(2)+3x-4) $ oppure $ I= (f) $ ??
Mentre $ g= (x-1)((x)^(2)+3x+5) $ e in questo caso rimane $ J= (x-3, g) $ ??
E poi come faccio a dimostrare che sono primi?

[Edhel1]

"j18eos":C'è un teorema che ti assicura che [tex]$I$[/tex] è un ideale primo se e solo se è [tex]$\mathbb{F}_7[X]/I$[/tex] un dominio d'integrità, analogo procedimento per [tex]$J$[/tex].

Io credevo di sfruttare il teorema sui domini ad ideali principali : I è primo se e solo se esiste $ p in \mathbb{F}_7[X] $ irriducibile tale che $ I=(p) $ , solo che non riesco a capire quale è l' elemento irriducibile che genera l' ideale, o meglio non so se posso applicare il teorema, in questo caso che l'ideale è generato da due polinomi.

[j18eos]

Avendo scritto il generico elemento di [tex]$I$[/tex] ed avendo scomposto [tex]$f$[/tex] in [tex]$\mathbb{F}_7[x]$[/tex], ottieni che [tex]$I=(f)$[/tex]; quindi ti conviene utilizzare il teorema che hai richiamato, fai prima!

Per [tex]$J$[/tex] non riesci come per [tex]$I$[/tex], prova col teorema che ti ho suggerito.

EDIT: Non sono sicuro che sia [tex]$I=(f)$[/tex]!

[Edhel1]

Si ma il teorema vale se p è irriducibile, ma f non è irriducibile in $\mathbb{F}_7[X]$!!!

[j18eos]

Senti, ho editato la mia precedente risposta; ribadisco il suggerimento del teorema che ti ho citato io!

[Studente Anonimo]

"Edhel":Siano f := $ (x)^(3) +x+5 $ e g := $ (x)^(3) +2(x)^(2) +2x+2 $ due polinomi a coefficienti in |F7 e siano I=(x−3,f) e J=(x−3,g).
(1) Stabilire se gli ideali I e J sono ideali primi;
(2) Scomporre il polinomio fg nel prodotto di fattori irriducibili in F7[x].

Osserva che:

- [tex]f(x) \in (x-3)[/tex] e quindi [tex]I=(x-3)[/tex];
- se fai la divisione con resto di [tex]g(x)[/tex] per [tex]x-3[/tex] ottieni resto [tex]4[/tex] e quindi [tex]4 \in J[/tex], ... e ricorda che [tex]4 \cdot 2 = 1[/tex].

[j18eos]

"j18eos":...sappi che non ho mai sostenuto un esame scritto di algebra, quindi non saprei se ciò fosse la maniera più rapida per risolvere il primo quesito!

Come volevasi dimostrare dall'aiuto di Martino!