Esercizio sui campi

[ludovica.sarandrea]

buongiorno, ho il seguente esercizio:
Sia R l’anello $(F_5[X])/(X^2 + 1)$. Quante soluzioni dell’equazione $y^2 = 1$ ci sono in R?

Io ho svolto cosi:
Gli elementi dell'anello sono della forma $a+bx$ con $a,b \in F_5$
Ho preso un generico elemento dell'anello e ho cercato di risolvere l'equazione:
$(a+bx)^2=1=a^2+b^2x^2+2abx=1$ ma nell'anello $b^2x^2=0$
Quindi ho $a^2+2abx=1$ e quindi (a sistema)
$a^2=1 -> a=+-1$
$2abx=0 -> b=0$ (sostituendo prima $a=1$ poi $a=-1$)
Il problema e' che ottengo due soluzioni, 1 e -1 mentre dovrei averne 4, cosa sbaglio?

[killing_buddha]

Gli elementi di $R$ sarebbero della forma $a+bx$ se fosse \(R = \frac{\mathbb F_5[X]}{X^2}\); gli elementi di $R$ sono della forma $a+\sqrt{-1}b$ con $a,b\in\mathbb F_5$. L'equazione $Y^2+1$ quindi ha come soluzioni $[1], [4]\in\mathbb F_5$.

Perché ne vorresti 4?

[ludovica.sarandrea]

La soluzione proposta dal mio professore ne prevede 4
Pero' a te ne vengono 4 in realta' perche avrei $(a+ib)^2=a^2-b^2+2abi=1$ quindi, a sistema,
$a^2-b^2=1$
$2abi=0$
e quindi viene $a=+-1, b=0$ $b=+-1, a=0$

[ludovica.sarandrea]

Se posso farti un'altra domanda, non capisco per quale motivo gli elementi di quell'anello sono di quella forma (mi rendo conto che e' un problema molto grande il mio ma purtroppo nessuno mi ha mai spiegato esplicitamente come fossero fatti gli elementi degli anelli quoziente), potresti spiegarmelo?

[Studente Anonimo]

Ludovica il tuo procedimento è giusto ma è falso che $b^2x^2=0$, ricordati che $x^2=-1$.

Il tuo $x$ è $X+(X^2+1)$ (classe laterale di X nel quoziente).

[ludovica.sarandrea]

Grazie Martino!
Ora ho capito l'errore che facevo in tutti questi tipi di esercizi