Esercizio sugli omomorfismi di gruppi

[klarence1]

Mi chiede di determinare il numero di omomorfismi fra $S_3$ (gruppo di permutazioni di tre elementi) e $Z/(10Z)$. Precedentemente, quando ho fatto esercizi di questo tipo, avevo sempre a che fare con gruppi ciclici, e non con gruppi non ciclici come il gruppo delle permutazioni, quindi mentre con i gruppi ciclici basta che stabilisco dove può andare un generatore e ho automaticamente il numero di omomorfismi, questa volta non posso fare lo stesso discorso. Come devo procedere in casi come questi?
Grazie.

[vict85]

"klarence":Mi chiede di determinare il numero di omomorfismi fra $S_3$ (gruppo di permutazioni di tre elementi) e $Z/(10Z)$. Precedentemente, quando ho fatto esercizi di questo tipo, avevo sempre a che fare con gruppi ciclici, e non con gruppi non ciclici come il gruppo delle permutazioni, quindi mentre con i gruppi ciclici basta che stabilisco dove può andare un generatore e ho automaticamente il numero di omomorfismi, questa volta non posso fare lo stesso discorso. Come devo procedere in casi come questi?
Grazie.

Avrai fatto i sottogruppi normali... il kernel di ogni omomorfismo è un sottogruppo normale.
Quindi:
$S_3$ ha 3 sottogruppi normali $A_3$, $e$, $S_3$.

Ma non esiste nessun omomorfismo con $ker(f)=e$ tra $S_3$ e $ZZ//10ZZ$ perché $S_3$ ha 3 elementi mentre $ZZ//10ZZ$ ne ha 10. $A_3$ ha 3 elementi, $S_3//A_3$ ne ha 2.

Ci sono quindi due omomorfismi:
$f_1: S_3 -> ZZ//10ZZ$
$theta |-> 0$
$ker(f)=S_3$

$f_1: S_3 -> ZZ//10ZZ$
$theta |-> 0$ se $theta$ è pari $theta |-> 5$ se $theta$ è dispari
$ker(f)=A_3$

[klarence1]

scusa ma $A_3$ cosa è?

[klarence1]

p.s. ma il gruppo di permutazioni $S_3$ non ha $3!$ elementi? Gli elementi che devono permutare sono $3$ ma le permutazioni non mi risulta siano $3$...

[vict85]

A_3 è il gruppo ciclico generato da (1,2,3)

[klarence1]

Ok grazie.

Potresti rispondere anche al topic n. 4?

Poi un'altra cosa: come fai praticamente a fare $S_3/A_3$ e a stabilire quanti elementi ha?
In generale quando ho un gruppo non ciclico come faccio a stabilire quali sono i suoi sottogruppi ciclici normali?

[vict85]

"klarence":Ok grazie.

Potresti rispondere anche al topic n. 4?

Poi un'altra cosa: come fai praticamente a fare $S_3/A_3$ e a stabilire quanti elementi ha?
In generale quando ho un gruppo non ciclico come faccio a stabilire quali sono i suoi sottogruppi ciclici normali?

Un sottogruppo normale non è necessariamente ciclico... $A_3$ è ciclico in $S_3$ ed isomorfo a $ZZ//3ZZ$ ma generalmente non è così.
Avrai visto $S_3$ e le sue caratteristiche... Il gruppo alterno $A_n$, e in questo caso $A_3$, è sempre un sottogruppo normale di $S_n$. Anzi se $n \ne 4$ è il suo unico sottogruppo normale proprio.

Togliendo la scritta ciclico i sottogruppi normali si trovano facendo i vari controlli... cioé guardando se $AA g \in G\ \ gHg^(-1) = H$ dove $H < G$ (cioé è un suo sottogruppo se non conosci questa notazione).

Ci sono però dei trucchetti... il primo e più semplice è $[G\ :\ H] = 2\ ->\ H$ è normale in $G$. Questo è il caso di $A_n$ (che in generale è il sottogruppo delle permutazioni pari e che è ciclico solo con $n=3$) in $S_n$.

$[G\ :\ H]$ è uguale al numero dei laterali sinistri (anche destri dato che sono lo stesso numero) di $H$ e per un teorema è sempre uguale a $|G|/|H|$. E' inoltre uguale all'ordine del gruppo quoziente.

Quindi $|S_n//A_n| = 2$ ed è isomorfo a $({+1, -1}, *)$ e a $ZZ_2$.

Ma solo per curiosità.. Hai già fatto cosa sono i sottogruppi normali e il teorema fondamentale degli isomorfismi di gruppi.... vero?

P.S: In un 3d precedente ho risposto a tante domande su $S_n$... cercalo