Esercizio sugli insiemi

[Chicco_Stat_1]

ri-salve a tutti!
ho un esercizietto sulla topologia di questo insieme, ma essendo il primo in assoluto che faccio vorrei qualche conferma se possibile..

allora, l'insieme è costituito dai punti interni al quadrato in figura esclusi lato superiore e inferiore, più i quattro punti esterni, che chiamerò A,B,C e D.

ho scritto l'insieme come

$E={(x,y)inRR^2 | -1/2<=x<=1/2 , -1/2
devo trovare punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione e dire se l'insieme è chiuso o aperto..

ho ragionato così

Punti interni: $E^°={(x,y)inRR^2 | -1/2
Punti isolati: ${A}uu{B}uu{C}uu{D}$

Punti di frontiera: $delE={(x,y)inRR^2 | (x=\pm1/2 , -1/2<=y<=1/2)vvv(y=\pm1/2,-1/2<=x<=1/2)}uu{A}uu{B}uu{C}uu{D}$, ovvero i lati del quadrato e i quattro punti isolati

Punti esterni: sono i punti interni al complementare $CE=RR^2\\E$, ovvero tutto RR^2 tolti i quattro punti isolati ed i punti interni al quadrato, ma compresi i punti sui lati dello stesso paralleli all'asse delle $x$

Punti di accumulazione: $E' = {(x,y)inRR^2 | -1/2<=x<=1/2 , -1/2
concludo che l'insieme non è aperto in quanto non tutti i suoi punti sono punti interni, e che è invece chiuso in quanto è aperto il suo complementare $CE$...


please qualcuno che ci dia una riguardata..l'ho fatto proprio a "sensazione"
grazie!

[_Tipper]

"Chicco_Stat_":ho scritto l'insieme come

$E={(x,y)inRR^2 | -1/2<=x<=1/2 , -1/2
Giusto.

"Chicco_Stat_":Punti interni: $E^°={(x,y)inRR^2 | -1/2
Giusto.

"Chicco_Stat_":Punti isolati: ${A}uu{B}uu{C}uu{D}$

Giusto.

"Chicco_Stat_":Punti di frontiera: $delE={(x,y)inRR^2 | (x=\pm1/2 , -1/2<=y<=1/2)vvv(y=\pm1/2,-1/2<=x<=1/2)}uu{A}uu{B}uu{C}uu{D}$, ovvero i lati del quadrato e i quattro punti isolati

Giusto.

"Chicco_Stat_":Punti esterni: sono i punti interni al complementare $CE=RR^2\\E$, ovvero tutto RR^2 tolti i quattro punti isolati ed i punti interni al quadrato, ma compresi i punti sui lati dello stesso paralleli all'asse delle $x$

No, i punti sui lati del quadrato sono di frontiera, quindi non possono essere esterni. I punti esterni sono quelli fuori del quadrato (quindi bordo escluso), ad eccezione dei quattro punti isolati.

"Chicco_Stat_":Punti di accumulazione: $E' = {(x,y)inRR^2 | -1/2<=x<=1/2 , -1/2
No, l'insieme giusto è $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}\}$.

"Chicco_Stat_":concludo che l'insieme non è aperto in quanto non tutti i suoi punti sono punti interni, e che è invece chiuso in quanto è aperto il suo complementare $CE$...

No, l'insieme non è aperto né chiuso, dal momento che contiene solo una parte della sua frontiera.

[Chicco_Stat_1]

"Tipper":

[quote="Chicco_Stat_"]Punti esterni: sono i punti interni al complementare $CE=RR^2\\E$, ovvero tutto RR^2 tolti i quattro punti isolati ed i punti interni al quadrato, ma compresi i punti sui lati dello stesso paralleli all'asse delle $x$

No, i punti sui lati del quadrato sono di frontiera, quindi non possono essere esterni. I punti esterni sono quelli fuori del quadrato (quindi bordo escluso), ad eccezione dei quattro punti isolati.
[/quote]

azz vero (cito) "un punto si dice di frontiera per E se non è interno né esterno ad E". Questo m'era sfuggito

"Tipper":
[quote="Chicco_Stat_"]Punti di accumulazione: $E' = {(x,y)inRR^2 | -1/2<=x<=1/2 , -1/2
No, l'insieme giusto è $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}\}$.
[/quote]

qui ho sbagliato a scrivere, sul foglio l'avevo scritto giusto

"Tipper":
[quote="Chicco_Stat_"]concludo che l'insieme non è aperto in quanto non tutti i suoi punti sono punti interni, e che è invece chiuso in quanto è aperto il suo complementare $CE$...

No, l'insieme non è aperto né chiuso, dal momento che contiene solo una parte della sua frontiera.[/quote]


questa non la sapevo..se un insieme contiene solo una parte della sua frontiera allora non è né aperto né chiuso...riesci a formalizzarmelo in qualche senso? intendo a dimostrarlo..non lo trovo sul mio testo e vorrei capire


intanto grazie infinite!

[_Tipper]

Mi potresti dare le definizioni di aperto e chiuso che adotta il tuo testo?

[Chicco_Stat_1]

sto usando vari testi ma le definizioni le ho tratte dal Pagani Salsa: Analisi I

"Un insieme $EsubeRR^n$ si dice aperto se ogni $x in E$ è un punto interno, cioé se $E$ coincide con $E^°$ (l'insieme dei punti interni); $E$ si dice chiuso se $CE$ è aperto."

[_Tipper]

Bene. Supponi che un insieme contenga solo una parte della frontiera, allora non può essere aperto perché contiene alcuni punti di frontiera, che non sono interni. Dato che tale insieme contiene solo una parte della frontiera, allora l'altra parte di frontiera sarà contenuta dal complementare, che quindi non è aperto, perché contiene punti di frontiera, che non sono interni. Ma allora l'insieme di partenza non può essere nemmeno chiuso, perché il complementare non è aperto.

Di conseguenza se un insieme contiene solo una parte della frontiera non è né aperto né chiuso.

EDIT: rivisto il tutto, perché c'era parecchia confusione.

[Chicco_Stat_1]

cristallino e veloce come un lampo.
super Tipper! grazie mille