Esercizio sugli ideali
Ciao a tutti! Sono alla disperata ricerca di qualcuno che sappia risolvere questo esercizio...
"Si provi che l'ideale generato da $3-X$ e $X^2$ non è un ideale principale in $\ZZ [x]$. Si tratta di un ideale primo ovvero massimale?"
Un grazie enorme a chiunque sappia aiutarmi:)
"Si provi che l'ideale generato da $3-X$ e $X^2$ non è un ideale principale in $\ZZ [x]$. Si tratta di un ideale primo ovvero massimale?"
Un grazie enorme a chiunque sappia aiutarmi:)
Risposte
[xdom="Seneca"]Come da [regolamento]1_2[/regolamento] ti invito a riportare i tuoi tentativi e i tuoi dubbi.[/xdom]
Gli ideali massimali sono ideali primi, ma gli ideali primi non sono sempre ideali massimali.
Esempio: \(\displaystyle(0)\) è un ideale primo di \(\displaystyle\mathbb{Z}\) ma non è un suo ideale massimale.
...e attendo un tentativo di risoluzione!
Esempio: \(\displaystyle(0)\) è un ideale primo di \(\displaystyle\mathbb{Z}\) ma non è un suo ideale massimale.
...e attendo un tentativo di risoluzione!
Scusate avete ragione... prima esperienza qui su matematicamente:)
Allora... sicuramente non posso dire che Z [x] sia un anello a ideali principali perche Z non è un campo... questo non esclude che però possa avere qualche ideale principale seppur non tutti... allora ho pensato di calcolare l'MCD tra i due polinomi... tale MCD non esiste però perché non hanno divisori comuni... pertanto non è a ideali principali... solo che questo metodo non mi sembra troppo sensato... perché R [x] dovrebbe essere a ideali principali eppure neanche su tale anello trovo un MCD tra i due polinomi...
Poi pensavo di verificare prima la massimalità in modo poi da dedurne eventualmente la primalità... volevo vedere se l'anello quoziente è un campo... o meglio, sono partita cercando se riuscivo a trovare un elemento che non ammettesse inverso ma mi sono incagliata per colpa dei DUE generatori...
Ecco qui:) scusate ancora se non ho messo subito un ragionamento...
Allora... sicuramente non posso dire che Z [x] sia un anello a ideali principali perche Z non è un campo... questo non esclude che però possa avere qualche ideale principale seppur non tutti... allora ho pensato di calcolare l'MCD tra i due polinomi... tale MCD non esiste però perché non hanno divisori comuni... pertanto non è a ideali principali... solo che questo metodo non mi sembra troppo sensato... perché R [x] dovrebbe essere a ideali principali eppure neanche su tale anello trovo un MCD tra i due polinomi...
Poi pensavo di verificare prima la massimalità in modo poi da dedurne eventualmente la primalità... volevo vedere se l'anello quoziente è un campo... o meglio, sono partita cercando se riuscivo a trovare un elemento che non ammettesse inverso ma mi sono incagliata per colpa dei DUE generatori...
Ecco qui:) scusate ancora se non ho messo subito un ragionamento...
Come hai detto tu stess* quell'ideale non può essere principale!
E per quanto riguarda la primalità?
E per quanto riguarda la primalità?
Quindi basta davvero ragionare così per dedurre che non è principale? Come si spiega il fatto che su R[x] è principale ma comunque non si trova MCD?
Per la primalità forse ho un'idea... l'ideale generato da quei due polinomi mi da dei polinomi irriducibili su Z, può essere? dunque non lo posso esprimere come prodotto di due elementi dell'anello, figurarsi come prodotto di due elementi dell'ideale... Non esistono a e b nell'anello tali che a*b appartenga all'ideale... e dunque non proprio posso verificare l'ipotesi di primalità... dato che massimale implica primo, non primo implica non massimale.
Mi stai facendo scervellare, ma è davvero utile! però non mi sembra mai di giungere a conclusioni troppo convincenti;)
Per la primalità forse ho un'idea... l'ideale generato da quei due polinomi mi da dei polinomi irriducibili su Z, può essere? dunque non lo posso esprimere come prodotto di due elementi dell'anello, figurarsi come prodotto di due elementi dell'ideale... Non esistono a e b nell'anello tali che a*b appartenga all'ideale... e dunque non proprio posso verificare l'ipotesi di primalità... dato che massimale implica primo, non primo implica non massimale.
Mi stai facendo scervellare, ma è davvero utile! però non mi sembra mai di giungere a conclusioni troppo convincenti;)
Due spunti
Un mcd esiste, è 1. Quindi se quell'ideale è principale allora è uguale a (1), cioè a $ZZ[x]$.
Sulla primalità, osserva che $x^2=x*x$ appartiene all'ideale. E $x$ ci appartiene?
Un mcd esiste, è 1. Quindi se quell'ideale è principale allora è uguale a (1), cioè a $ZZ[x]$.
Sulla primalità, osserva che $x^2=x*x$ appartiene all'ideale. E $x$ ci appartiene?
Dunque se fosse principale sarebbe tutto $Z [x]$, potrei quindi dire che è massimale no? Ma se io scopro che non è primo allora non può essere nemmeno massimale e dunque l'ipotesi che possa coincidere con tutto $Z [x]$ sarebbe da escludere e non potrebbe essere principale! Ha senso?
$x$ direi che non appartiene all'ideale perché per avere un elemento di primo grado devo per forza portarmi dietro un terime noto che sia multiplo di 3... pertanto l'ideale non è primo, giusto?
$x$ direi che non appartiene all'ideale perché per avere un elemento di primo grado devo per forza portarmi dietro un terime noto che sia multiplo di 3... pertanto l'ideale non è primo, giusto?
$Z[x]$ non è un ideale massimale di $Z[x]$. Inoltre l'argomento su $x$ non l'ho capito. Puoi scrivere le tue idee in modo più chiaro, magari usando formule?
Ricorda che se $A$ è un anello commutativo l'ideale generato da due elementi $a$ e $b$ risulta uguale a $\{ar+bs\ :\ r,s \in A\}$. Quindi gli elementi del tuo ideale hanno la forma $P(X)(X-3)+Q(X)X^2$ dove $P(X),Q(X) in ZZ[X]$. Quindi le due domande che stai affrontando sono
1) esistono $P(X),Q(X) in ZZ[X]$ tali che $P(X)(X-3)+Q(X)X^2 = 1$?
2) esistono $P(X),Q(X) in ZZ[X]$ tali che $P(X)(X-3)+Q(X)X^2 = X$?
Ricorda che se $A$ è un anello commutativo l'ideale generato da due elementi $a$ e $b$ risulta uguale a $\{ar+bs\ :\ r,s \in A\}$. Quindi gli elementi del tuo ideale hanno la forma $P(X)(X-3)+Q(X)X^2$ dove $P(X),Q(X) in ZZ[X]$. Quindi le due domande che stai affrontando sono
1) esistono $P(X),Q(X) in ZZ[X]$ tali che $P(X)(X-3)+Q(X)X^2 = 1$?
2) esistono $P(X),Q(X) in ZZ[X]$ tali che $P(X)(X-3)+Q(X)X^2 = X$?
Si hai ragione sulla massimalità ho scritto una cavolata...
Però le relazioni che hai scritto mi hanno chiarito un po' le idee... per quanto riguarda la $x$ avevo già più o meno ragionato in quel modo: dato che gli elementi dell'ideale sono in forma $ P (X) (3-X) +Q (X)(X^2) $ non riesco a ottenere l'elemento $ X $ senza avere necessariamente anche un termine noto che sia multiplo di $3$... infatti ottengo un elemento di primo grado solo dal primo generatore, ponendo $ Q (X)=0$, ma non esiste un $ P (X) $ che mi permetta di ottenere un polinomio di primo grado privo del termine noto...
Credo di poter dire la stessa cosa per $ P (X) (3-X) +Q (X)(X^2) =1 $... un elemento di grado nullo si può ottenere solo a partire dal primo generatore, quindi con $ Q (X)=0$ ma non esiste un $ P (X) $ che mi permetta di ottenere $ P (X) (3-X) =1$
Dunque, ricapitolando: $X$ non appartiene all'ideale dunque l'ideale non è primo... di conseguenza non è massimale...
Nemmeno $1$ appartiene all'ideale, dunque non è principale? Se avessi avuto un altro MCD avrei dovuto farlo con quello?
Grazie davvero, mi dispiace di risultare poco chiara! Tu invece mi stai aiutando un sacco!
Però le relazioni che hai scritto mi hanno chiarito un po' le idee... per quanto riguarda la $x$ avevo già più o meno ragionato in quel modo: dato che gli elementi dell'ideale sono in forma $ P (X) (3-X) +Q (X)(X^2) $ non riesco a ottenere l'elemento $ X $ senza avere necessariamente anche un termine noto che sia multiplo di $3$... infatti ottengo un elemento di primo grado solo dal primo generatore, ponendo $ Q (X)=0$, ma non esiste un $ P (X) $ che mi permetta di ottenere un polinomio di primo grado privo del termine noto...
Credo di poter dire la stessa cosa per $ P (X) (3-X) +Q (X)(X^2) =1 $... un elemento di grado nullo si può ottenere solo a partire dal primo generatore, quindi con $ Q (X)=0$ ma non esiste un $ P (X) $ che mi permetta di ottenere $ P (X) (3-X) =1$
Dunque, ricapitolando: $X$ non appartiene all'ideale dunque l'ideale non è primo... di conseguenza non è massimale...
Nemmeno $1$ appartiene all'ideale, dunque non è principale? Se avessi avuto un altro MCD avrei dovuto farlo con quello?
Grazie davvero, mi dispiace di risultare poco chiara! Tu invece mi stai aiutando un sacco!
Io la farei più semplice: cosa succede alle due equazioni se sostituisci $X=3$?
Ottengo $9Q (X) =1$ e $9Q (X)=3$... che con coefficienti in $ Z $ non può essere, mi vengono necessariamente termini di grado nullo multipli di 9... ma perché sostituire proprio con 3?
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