Esercizio su teoremi di Sylow

[Massenzio1]

Buonasera, avevo dei dubbi su un esercizio il cui testo è: Sia G un gruppo di ordine 650 (=2*5^2*13), si dimostri che G non è semplice. Si mostri che G ammette un unico sottogruppo H di ordine 325. Si determini n5 (numero di 5-Sylow in G). Supponendo poi che esista sigma:G --> H un morfismo suriettivo, si provi che G è abeliano.

Il primo punto l'ho svolto ricordando i teoremi di Sylow dai quali deduco che n13 = 1 e che quindi esiste un unico 13-Sylow in G che denoto N ( che quindi è normale) e perciò G non è semplice. Proseguendo posso considerare G' il quoziente G/N che ha ordine 50 e applicando i teoremi di Sylow a G' ottengo che esiste un unico 5-Sylow in G' (anch'esso normale) di ordine 25, il teorema di corrispondenza mi dice allora che in G trovo un sottogruppo normale (unico) di ordine 25*13=325 che quindi è H. Non saprei però come proseguire per risolvere gli altri due punti.

[luca_69]

Per contraddizione, supponiamo che $G$ abbia due sottogruppi di ordine $325=5^2.13$, diciamo $H_1$ e $H_2$. Allora, $|H_1\cap H_2|\le 5.13$ e quindi il prodotto $H_1H_2\subseteq G$ ha cardinalità $|H_1H_2|\ge\frac{5^2.13.5^2.13}{5.13}=5.5^2.13>2.5^2.13=|G|$, contraddizione. Poi, da Sylow III ottieni $n_5=1,26$; ma $26$ è da escludere, perché altrimenti, detto $P_{13}$ l'unico $13$-Sylow (normale!) e $P_5$ , $Q_5$ due $5$-Sylow, avresti che $P_{13}P_5$ e $P_{13}Q_5$ sono due distinti sottogruppi di ordine $325$, contraddizione per il punto precedente. Quindi, anche (l'unico) $P_5$ è normale. Infine, se esiste quel morfismo suriettivo, allora il nucleo (normale) ha ordine $2$, che è il $2$-Sylow. Morale: in tal caso, tutti i $p$-Sylow sono normali, e poichè la decomposizione in primi di $|G|$ ha potenze al più $2$, $G$ è abeliano.

(Disclaimer. Prendi il tutto con beneficio di inventario, questo non è il mio mestiere.)