Esercizio su teorema dell'omomorfismo
Salve,
ho un esercizio in cui mi si chiede:
Mostrare che ogni gruppo ciclico finito di ordine 10 è isomorfo al gruppo $Z / (10Z)$.
Non ho la più pallida idea di come si risolva.
Potete aiutarmi?
Grazie
ho un esercizio in cui mi si chiede:
Mostrare che ogni gruppo ciclico finito di ordine 10 è isomorfo al gruppo $Z / (10Z)$.
Non ho la più pallida idea di come si risolva.
Potete aiutarmi?
Grazie
Risposte
Ciao!
Prova a dimostrare che ogni gruppo ciclico $G$ di ordine $n$ è isomorfo a $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$. Usa la definizione di gruppo ciclico e costruisci un isomorfismo da $G$ a $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}} = \{0, \ldots, n-1\}$.
Prova a dimostrare che ogni gruppo ciclico $G$ di ordine $n$ è isomorfo a $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}}$. Usa la definizione di gruppo ciclico e costruisci un isomorfismo da $G$ a $\mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}} = \{0, \ldots, n-1\}$.
C'è un teorema che dice: sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $n$ allora $G~=ZZ_{/nZZ}$
Prendi la mappa $\phi : [a]_{10} |-> g^{a}$ e mostra che si tratta di un isomorfismo
Prendi la mappa $\phi : [a]_{10} |-> g^{a}$ e mostra che si tratta di un isomorfismo
Ok grazie per le risposte.
Mi potete fare un esempio di come dimostrare che una funzione sia un isomorfismo e quindi che un gruppo sia isomorfo ad un altro?
Mi potete fare un esempio di come dimostrare che una funzione sia un isomorfismo e quindi che un gruppo sia isomorfo ad un altro?
Si può fare in più modi.
Primo modo:
1) dimostrare che è un omomorfismo. \(f(ab) = f(a)f(b)\)
2) dimostrare che è iniettivo ovvero che \(\ker f = \{1_g\}\)
3) nel caso finito far notare che i due gruppi hanno la stessa cardinalità.
Secondo modo:
1) dimostrare che è un omomorfismo
2) trovare g tale che \(f\circ g = \mathrm{id}_G\) e \(g\circ f = \mathrm{id}_{G'}\).
Comunque
[xdom="vict85"]Il [regolamento]1_4[/regolamento] prevede dei tentativi da parte tua.[/xdom]
Primo modo:
1) dimostrare che è un omomorfismo. \(f(ab) = f(a)f(b)\)
2) dimostrare che è iniettivo ovvero che \(\ker f = \{1_g\}\)
3) nel caso finito far notare che i due gruppi hanno la stessa cardinalità.
Secondo modo:
1) dimostrare che è un omomorfismo
2) trovare g tale che \(f\circ g = \mathrm{id}_G\) e \(g\circ f = \mathrm{id}_{G'}\).
Comunque
[xdom="vict85"]Il [regolamento]1_4[/regolamento] prevede dei tentativi da parte tua.[/xdom]
Grazie.
Si scusami ma non sapevo come proprio come procedere nel svolgere un tentativo.
Comunque cosa si intende per $id_G$?
Si scusami ma non sapevo come proprio come procedere nel svolgere un tentativo.
Comunque cosa si intende per $id_G$?
La funzione identità del gruppo \(G\), da non confondere con l'identità del gruppo. Nel caso specifico devi trovare un omomorfismo \(h\) tale che \(h(f([a]_{10})) = [a]_{10}\) e \(f(h(g^{a}))= g^{a}\) dove \(f\) è la mappa che ti hanno già dato. Non dimenticarti di dimostrare che \(h\) è omomorfismo.
[edit] Corretti alcuni errori.
[edit] Corretti alcuni errori.
Grazie.
Mi è un pò difficile comprendere queste cose, però.
E' possibile indicarmi dove trovare qualche esempio per capire questi concetti?
Grazie
Mi è un pò difficile comprendere queste cose, però.
E' possibile indicarmi dove trovare qualche esempio per capire questi concetti?
Grazie
Cosa non hai capito?
Comunque c'è un altro modo che puoi usare. Prendere la mappa \(f\colon \mathbb{Z}\to G\) data da \(n\mapsto g^n\) e mostrare che \(\ker f = 10\mathbb{Z}\) (ovvero i multipli di 10). A questo punto usi il teorema fondamentale degli isomorfismi di gruppi. Se non sei abituato ad usare le classi di resto potrebbe essere più semplice.
Comunque c'è un altro modo che puoi usare. Prendere la mappa \(f\colon \mathbb{Z}\to G\) data da \(n\mapsto g^n\) e mostrare che \(\ker f = 10\mathbb{Z}\) (ovvero i multipli di 10). A questo punto usi il teorema fondamentale degli isomorfismi di gruppi. Se non sei abituato ad usare le classi di resto potrebbe essere più semplice.
Allora, ho provato a prendere: $f: [a]_10 ↦ ga$ e dimostrare che è un isomorfismo dimostrando che:
Ma non so come procedere e non so se è corretto.
In pratica sto lavorando con: $f: Z "/" (10) ->$ dove $$ è il gruppo ciclico, e con $f: [a]_10 ↦ ga$.
Inoltre devo anche dimostrare iniettività e suriettività della funzione, ma non so come fare.
$ f( [a]_10 + _10 ) = f( [a]_10 ) * f( _10 )$
Ma non so come procedere e non so se è corretto.
In pratica sto lavorando con: $f: Z "/" (10) ->
Inoltre devo anche dimostrare iniettività e suriettività della funzione, ma non so come fare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo