Esercizio su sottoinsiemi e sottogruppi

[Anonymus.93]

Salve a tutti, ho delle difficoltà nella risoluzione di questo esercizio:

Si consideri il seguente sottoinsieme \(\displaystyle G = \{m + n \sqrt 2 \in R | m, n \in Z \} \) di \(\displaystyle R \).

a) Dimostrare che \(\displaystyle Z \subset G \);
b) Dimostrare che \(\displaystyle \sqrt 3 \notin G \), \(\displaystyle \sqrt 5 \notin G \), \(\displaystyle \sqrt 7 \notin G \);
c) Dimostrare che \(\displaystyle G \) è un sottogruppo di \(\displaystyle (R, +) \);
d) Dimostrare che \(\displaystyle Z \) è un sottogruppo di \(\displaystyle (G, +) \).

a) Per dimostrare che \(\displaystyle Z \subset G \) ho pensato di ragionare per assurdo:
Se \(\displaystyle Z \not\subset G \), allora \(\displaystyle \exists x \in Z \) tale che \(\displaystyle x \notin G \) e questo è un assurdo perchè \(\displaystyle m \in Z\)! Però ho molti dubbi su questa modalità di dimostrazione. Confido in un vostro aiuto!

b) \(\displaystyle \sqrt 3 \notin G \):
Ho iniziato la dimostrazione in questo modo, ma non ho idea di come continuare:
\(\displaystyle m + n \sqrt 2 = \sqrt 3 \)
E poi si dovrebbe arrivare a non avere soluzioni appartenenti a G.

Per quanto concerne i punti c) e d) non ho alcun dubbio.

Vi ringrazio in anticipo per un'eventuale risposta sulla modalità di svolgimento dei punti a) e b)!

[dan952]

1) Beh il sottogruppo che si ottiene ponendo $n=0$ è proprio $ZZ$.

2) $m+n\sqrt{2}=\sqrt{3}$ fai il quadrato e viene fuori che puoi scrivere $\sqrt{2}$ come rapporto di due interi cosa che sai essere assurda perché $\sqrt{2}$ è incommensurabile.